广东省广州市番禺区高一上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市番禺区高一上学期期末数学试题（解析版）-A4，共14页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义，联立方程即可求解.
【详解】由，解得，
故，
故选：C
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解ABC，根据指数型复合函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A, 在单调递增，故A错误，
对于B，在上单调递减，B正确，
对于C，在单调递增，故C错误，
对于D，在单调递增，在单调递减，故D错误，
故选：B
3. 已知，那么是（ ）
A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】
化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.
【详解】由可知同号，即，
从而第一、二象限角，故选A.
故选：A
【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.
4. 已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数单调性，根据零点存在定理即可判断零点所在范围，即可比较得出答案.
【详解】函数在R上单调递增，又，
故的零点，
令，解得，即；
由在上单调递增，得，，
因此的零点，则，
故选：D．
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性即可求解.
【详解】由于，故，
由于，故，
由于，故，
因此，
故选：D
6. 若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解.
【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题，
故，则，
故选：A
7. 时，函数与的图象交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数图象即可求解.
【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，
根据图象可知：与的图象在有4个交点，
故选：B
8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A. 8100B. 900C. 81D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.
【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：
,解得；
当鲑鱼游静止时的耗氧量：
,解得；
所以.
故选：C
【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列化简中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据辅助角公式即可求解AB，根据二倍角公式可求解C，根据正切的和角公式求解D.
【详解】对于A，，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，C正确，
对于D，
，故D正确，
故选：ACD
10. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断ABC；举例判断D即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数增函数，所以，即，故A正确，B错误，
因为，即，
根据函数是增函数，所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
故选：AC
11. 已知函数，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 存在无数个零点B. 在上有最大值
C. 在区间上是单调递减函数D. 的图象是轴对称图形
【答案】ABD
【解析】
【分析】令由即可求解A，根据函数可得若在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，即可求解B，举反例即可求解C，根据即可求解D.
【详解】对于A，令，即，则,得且且，故存在无数个零点，故A正确，
对于B，当时，，且在上单调递增，
假设在上有最大值点，则满足，令,则，故，
对任意，且，则，
所以，则，
若在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，故在有最大值，进而在上有最大值，B正确，
对于C, ,由于，故，所以，故C错误，
对于D，，故关于直线对称，
D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据,得，进而得，
根据假设在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，即可求解最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.
【详解】函数的定义域满足：
解得
所以函数的定义域为
故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．．
13. 若，则_______
【答案】5
【解析】
【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解.
【详解】由可得，
故，
故答案为：5
14. 已知且，则______．
【答案】64
【解析】
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（1）求值；
（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据以及函数的单调性可得，根据最值求解；
（2）根据，利用三角函数的图象变换求解.
【小问1详解】
由题意可知：
结合在单调递增，故,解得，
所以，得，
由于，故，
【小问2详解】
由（1）得，
所以的图象可由的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.
16. 已知函数
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在区间上是增函数；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解，
（2）根据单调性的定义即可求解，
（3）分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，，则，
【小问2详解】
任取，故，
由于,所以，
因此，故，
因此函数在区间上是增函数，
【小问3详解】
当时，由时，，解得或，
当时，由时，，解得，
综上可得不等式的解集为．
17. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
【答案】（1）20平方米 （2）变好了
【解析】
【分析】
（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.
【详解】解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.
因为，所以.又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
【点睛】本题主要考查不等式的应用，考查作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角是三角形内角，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）或1
【解析】
【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解；
（2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解；
（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解.
【小问1详解】
解：因为角终边过点，
所以点P到原点的距离为，
所以；
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
；
【小问3详解】
因为是三角形内角，且，
所以，
由（1）知：，
所以，
当时，，
；
当时，，
.
19. 函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．
（1）判断函数与函数的奇偶性，并加以证明；
（2）我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
……
①请你用与表示和（不要求证明）．
②若，求证：．
③定义，求的值．
【答案】（1）为奇函数，为偶函数，
（2）①②答案见解析，③
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解，
（2）根据，，即可求解①，根据①的结论以及，即可求解②，设，得，则即可求解③.
【小问1详解】
由于，定义域为,且，
因此为奇函数，
,定义域为,且,因此为偶函数，
【小问2详解】
①由于，
由于，
故，
，
故，
②由于，
故.
③由于，
取，则，则，
因此若则，故
故，
【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.