广东省潮州市高一上学期期末数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省潮州市高一上学期期末数学试题（解析版）(1)-A4，共12页。试卷主要包含了 已知幂函数在上是减函数，则， 已知函数， 方程的根的个数是， 下列命题为真命题的有等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）
（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题4分，共32分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合交集的运算可得.
【详解】由题可知，所以，
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可得.
【详解】命题“，”否定是，，
故选：B
3. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. 2C. 22D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为一元二次方程的两根问题，用韦达定理求出，进而求出答案.
【详解】由题意得：2与3是方程的两个根，故，，所以.
故选：C
4. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定与0和1的大小，即可；
【详解】因为，，，所以.
故选：C.
6. 已知幂函数在上是减函数，则（ ）
A. 或3B. C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再根据单调性求解.
【详解】解：由函数是幂函数，
得，解得或，
当时，在上是增函数，不符合题意，
当时，在上是减函数，符合题意，
所以，
故选：B.
7. 已知函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数性质确定定点，再由三角函数定义即可求解；
【详解】的图象经过定点，故
故选：D
8. 方程的根的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解.
【详解】画出和的函数图象，
因为，，
结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.
故选：A
（二）多项选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若是定义在上的奇函数，则
B. 函数在其定义域内是减函数
C. 若是定义在上的偶函数，则
D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A，根据为奇函数得，代入可得；
选项B，上单调递减，在上单调递减，但在其定义域内不是减函数；
选项C，由，是定义在上的偶函数可得；
选项D，由正弦函数的值域可得.
【详解】对于A，若是定义在上的奇函数，则恒成立，
令，得，故A正确；
对于B，函数在上单调递减，在上单调递减，故B不正确；
对于C，若是定义在上的偶函数，则，
因为，所以，故C正确；
对于D，，，故D不正确，
故选：AC
10. 已知函数，下列关于函数f(x)说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为π
B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称
D. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数f(x)的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案.
【详解】的最小正周期，A选项错误.
，所以图象关于直线对称，B选项正确
由于，，
所以图象关于点对称，C选项错误.
函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，
再向上平移1个单位长度可得到，D选项正确.
故选：BD
11. 设正实数a，b满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. ab的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式逐项判断即可；
【详解】因为a，，且，
对于A：，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故A不正确；
对于B：，当且仅当，即、时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当、时取等号，故C正确；
对于D：，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD
二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分）
12. 设函数，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】由分段函数解析式从内向外代入计算即可.
【详解】，，.
故答案为：4
13. 函数的零点所在区间为，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案.
【详解】在上递增，
，
所以的零点在区间，
所以值为.
故答案为：
14. 已知函数，且满足，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义证明的奇偶性，根据指数型复合函数的单调性判断的单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】因为，所以为奇函数，
，
又在R上单调递增，所以在R上单调递增，
所以为R上的增函数.
因为，为奇函数，
所以，
又为R上的增函数，所以，即，
解得或，即实数m的取值范围为.
故答案为：
三、解答题：（本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）108 （2）1
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算求解；
（2）利用对数的运算求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
16. 设集合，，命题，命题.
（1）当时，求集合A与集合B的并集；
（2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可；
（2）由题意得到，构造不等式求解即可；
【小问1详解】
由题设，，当时，所以；
【小问2详解】
由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则
又a为正实数，即，解得，
故a的取值范围为.
17 （1）化简:；
（2）已知，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可；
（2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，，
所以，
，
所以
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；
（2）若，求函数的单调区间和值域.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为
（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为
【解析】
【分析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；
（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数最小正周期为，
函数的对称轴方程为；
【小问2详解】
，
，
时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；
时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.
，
函数的值域为.
19. 已知函数是奇函数，且.
（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.
【答案】（1）；函数在区间上单调递减，在上单调递增
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；
（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
是奇函数，且
，且
又
.
经检验，满足题意，
故.
当时，时等号成立，
当时，单调递减；当时，单调递增.
【小问2详解】
解：①当时，是减函数，
故当取得最小值时，且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，
所以.
②当时，是增函数，
故当取得最大值时，
且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，
所以.