广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题（原卷版）-A4

这是一份广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A. 160000元B. 179200元
C. 198400元D. 297600元
5. 已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知则（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数和，下列结论中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期D. 与的图象有相同的对称轴
10. 使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则______．
13. 已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②一个函数______．
14. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求值．
16. 已知函数．
（1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
17. 已知函数（且）最大值为2．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间．
18. 已知函数.
（1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；
（2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；
（3）设，记的最小值为，求的最小值.
19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
（1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
（2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
（3）设为大于或等于1实数，证明：．