广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，
又，所以.
故选：C.
2. 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题的否定是.
故选：B.
3. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
4. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A. 160000元B. 179200元
C. 198400元D. 297600元
【答案】C
【解析】设池底的长为x，宽为y，则，即，
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
5. 已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设幂函数，
因为幂函数的图象过点，
则，解得，即，
因为f3x-1>f2x，即3x-12>2x2，
整理可得，
解得或，
所以不等式f3x-1>f2x解集为.
故选：D.
6. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，即，
所以，
，
所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.
故选：D.
7. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，那么.
因为，根据，可得：
.
把变形为.
由两角差公式可得：.
把，，，代入上式得：
.
故选：B.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
又因为，，所以，
又因为，
因，，故，所以，即，
又，因，，故，
所以，即，所以，故.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数和，下列结论中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期D. 与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，得，解得，即为零点，
令，得，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，易得，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，对于，令，得，
对于，令，得，
所以的对称轴为，的对称轴为，
显然图象的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC.
10. 使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.
当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，
则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.
开口向下：二次项系数，即.
与轴无交点：判别式.此种情况，解得.
综合两种情况，不等式对一切实数都成立时的取值范围是.
分析各个选项：
A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.
C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为当时，，所以，，故A正确；
又因为，则，故B正确；
，，
，，
，，
，，
，，
，，故D正确；
但没有足够条件判断C的正误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则______．
【答案】
【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，则，
所以.
13. 已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②的一个函数______．
【答案】（答案不唯一，满足，即可）
【解析】对于①：因为，即，可得；
对于②：当时，，显然，
若，可得，即，
当时，恒成立，可得，此时显然不恒成立，不合题意；
若，可得，即，
则，解得；
综上所述：，例如，此时（答案不唯一，满足，即可）.
14. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
【答案】10
【解析】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，
代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0.
当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝，
解得t＝10，即需要花费10小时．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，
得，所以.
（2）因为且，所以，
，因为，
所以，得，解得：，，
所以，
所以．
16. 已知函数．
（1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
解：（1）存在，，理由如下：
因为的定义域为，
若函数为奇函数，则，
即，整理可得，解得，
所以.
（2）因为的定义域为，当在定义域为内单调递减，
对任意，，设，
则，
因为，则，，，
可得，即，
所以在定义域为内单调递减.
17. 已知函数（且）的最大值为2．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间．
解：（1）
，
的最大值为，所以，
若，则；
若，则.
综上所述，的值为或.
（2）若，则，
由，解得，
即的单调递增区间为.
若，则，
由，解得，
即的单调递增区间为.
18. 已知函数.
（1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；
（2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；
（3）设，记的最小值为，求的最小值.
解：（1）当时，，
当时，，
当时，，
又，所以的图象大致如图.
（2）因为，，
结合（1）中图象，可知当时，，
当或时，，
所以，即.
（3）因为，
所以，
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
综上，当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
当时，，此时在时取得最小值；
当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
综上，的最小值为.
19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
（1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
（2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
（3）设为大于或等于1的实数，证明：．
解：（1）因为的定义域为，
任取，
则
，
即，所以为上的下凸函数.
（2）因为为上的上凸函数，且，，
则，即，
例如时，，
所以的最大值为.
（3）设，因为，所以，
要证，
只需证，
下证：在上为下凸函数.
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为下凸函数，
则得证.