广东省惠州市高一上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省惠州市高一上学期期末数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 若，则有， 已知，则， 下列式子化简正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间120分钟.
2025.1
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的概念可直接得到结果.
【详解】因为.
故选：D
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. “，使得”B. “，使得”
C. “，使得”D. “，使得”
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题否定式特称命题分析判断.
【详解】命题“，使得”的否定是“，使得”.
故选：C.
3. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用任意角定义及充分不必要条件定义即可得到结果.
【详解】若角是锐角，则角是第一象限角；
但角是第一象限角，则角不一定是锐角，
故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 若，则有（ ）
A. 最小值3B. 最小值6
C. 最大值6D. 最大值3
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式求解．
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6，
故选：B.
5. ,,,则下列关于大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三个数构造函数,大概计算三个数的范围,比较出三个数的大小即可.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
所以.
故选:A
6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．
【详解】由已知，，
扇面面积为
故选：B．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，结合余弦二倍角公式即可求解；
【详解】因为，所以，
故选：D.
8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.
9. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由诱导公式逐个判断即可；
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10. 已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.
【详解】作出函数与函数的图像，如图，
当时，根据图像得，故A选项正确；
当时，根据图像得，故D选项正确；
故选：AD.
11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 对，不等式总成立
D. 对，且，总有
【答案】ACD
【解析】
【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项.
【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且，
则，有，
由，得，，
，为偶函数，A选项正确；
，B选项错误；
对，，
所以不等式总成立，C选项正确；
对，且，则，，
所以，
D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.
【详解】已知函数，
则，所以．
故答案为：.
13. 已知，，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.
【详解】因为，，且，，
则，，
可得
，
即.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则__________.
【答案】（或写成）
【解析】
【分析】根据奇函数和，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果．
【详解】因为，所以直线是函数的一条对称轴，
即，
又因为是奇函数，所以点是函数的对称中心，
即，
所以，所以，
故函数的周期是4，
因为是定义在上的奇函数，所以，
又当时，，
且，所以，
，
两式联立可解得，
所以当时，，
所以，
，
所以，
所以
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）-3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则计算，根式化为分数指数幂．
（2）根据对数运算法则计算．
【小问1详解】
【小问2详解】
.
16. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式，并求的值；
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在上的单调递增区间.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点坐标求得，得解析式，再计算函数值；
（2）由图象变换得出的的解析式，然后由正弦函数的单调性求得增区间．
【小问1详解】
由图形可得，
，
，
解得，
因为过点，
所以，即，
所以，
又因为，所以，
故
所以
【小问2详解】
函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，
得到，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
所以，
【方法一】令，
则，
因为，所以，
所以在上的单调递增区间为
【方法二】令，所以，
因为的单调递增区间为，
且由，得，
所以在上的单调递增区间为．
17. 已知函数是上的偶函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上单调性，并用定义法证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求出值.
（2）利用单调函数的定义证明单调性.
（3）利用函数的单调性及奇偶性角不等式.
【小问1详解】
由函数是上的偶函数，得对任意恒成立，
即对任意恒成立，整理得对任意恒成立，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增，
任取，且，
则，
由，得，，，
因此，，则，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）、（2）知，上偶函数在上单调递增，在上单调递减，
不等式，则，解得或，
所以原不等式的解集为.
18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）；
（2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）万件，最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解；
（2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
依题意得：当时，，
则，所以，
因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
依题意得：当时，
，
当时，
，
所以.
【小问2详解】
当时，
所以当时，取最大值10万元；
当时，.
当且仅当即时，取最大值14万元
因为，所以当时，取最大值14万元，
所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
19. 若函数在定义域内存在实数满足，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.
（1）若函数，判断是否为上的“阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若函数是上的“阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法一：根据“阶局部奇函数”的定义得出，然后在时解此方程即可得出结论；
解法二：直接验证满足方程即可得出结论；
（2）由题意可知，使得，结合对数的运算性质可知，，求出在时的取值范围，可得出，再由，使得，结合参变量分离法可得出，综合可得出实数的取值范围；
（3）由题意可知，在上有解，分两种情况讨论：①时，直接验证即可；②当时，则任意的实数，恒成立，根据一次函数的基本性质可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出整数的取值集合.
【小问1详解】
解法一：若是上的“阶局部奇函数”，
则，满足，
即.
即，，
因为，则，所以，，解得，
则在上存在实数满足，
故是上的“阶局部奇函数”；
解法二：因，所以，故
即在上存在实数满足，
故是上的“阶局部奇函数”.
【小问2详解】
由题意可得，使得，
即使得，
故使得，即，
因为，所以，
又因为，使得，则，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【小问3详解】
由题意得，在上有解，
即在上有解，
①当时，解得，满足题意，
②当时，对于任意的实数，恒成立，
即恒成立，即，
因为，所以在单调递增，
所以恒成立，即，
解得，
由于，综上所述.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.