广东省清远市高一上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省清远市高一上学期期末数学试题（解析版）-A4，共14页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合交、补运算求解即可；
【详解】全集，而，则，又，所以．
故选：A．
2. 已知角，则角的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边相同的角的性质即可求.
【详解】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限．
故选:C．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数的运算性质判断A、B；根据对数的运算性质判断C，D，
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，若且，则，C错误；
对于D，若，则，D正确．
故选：D．
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可.
【详解】由题意得，解得或．
故选：B．
5. 已知，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用单调性得到，，结合的单调性比较出大小.
【详解】因为，当时，单调递增，
所以，，
又，所以，
即．
故选：D．
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；
【详解】因为，所以，
即，得．
所以．
故选：B．
7. 已知实数，且，则的最小值为（ ）
A. 16B. 18C. 22D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值.
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22．
故选：C
8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得
【详解】因为，所以或
因为关于的方程共有5个不同的实数根．
所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点．
如图，的图象与直线有2个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，所以．
故选：D．
【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；BC选项，由不等式性质得到BC正确；D选项，判断出，D正确.
【详解】对于A，若，取，，则，A错误；
对于B，若，则，B正确；
对于C，，两边同乘以得，，C正确；
对于D，由知，则，故，D正确．
故选：BCD．
10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A.
B. 直线是图象的对称轴
C. 在区间上只有2个零点
D. 在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由对称中心代入即可判断A，由的函数值可判断B，通过计算的范围，结合余弦函数的图像、单调性可判断CD.
【详解】将代入，得，
，即．又，故A正确；
由上知，则，则直线是图象的对称轴，故B正确；
由，得，又在上有3个零点，所以函数在区间上有且仅有3个零点，C错误；
处于余弦函数的递增区间内，D正确．
故选:ABD．
11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ）
A.
B. 为周期函数
C.
D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可；
【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确；
对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确；
对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确；
对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递减，
由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】由弧长公式，即可求解；
【详解】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式，可得．
故答案为：
13. 已知，且为第三象限角，则______．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系求出正弦，再求正切即可.
【详解】解：因为，且为第三象限角，
所以,所以.
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，构造函数，通过单调性、奇偶性即可求解；
【详解】因为，
所以，所以，
令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，
所以，所以对，
所以函数为上的奇函数，且．
由，可得，即，所以或，解得．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由，得到，构造函数.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知函数的最小正周期．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数周期公式代入计算可得结果；
（2）利用整体代换法以及正弦函数单调性即可求得最值.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以．
【小问2详解】
当时，，
所以当，即时，；
当，即时，．
所以在区间上的最大值为，最小值为．
16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解；
（2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解.
【小问1详解】
若，则，
由题意可得，
所以．
【小问2详解】
当时，令，即，解得，则；
当时，令，即，解得，则．
综上所述，不等式的解集为．
17. 根据市场调查，某供应商某产品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该产品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为40元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为20．假设不计其他成本，即销售每件产品的利润=售价供货价格．
（1）当每件产品的售价定为80元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润；
（2）该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值．
【答案】（1）620（万元）．
（2）该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．
【解析】
【分析】（1）由题意先求得销售量，再结合每件产品的利润即可求解；
（2）设该商品的售价为元，由题意得到，再结合基本等式求解即可；
小问1详解】
当每件产品的售价定为80元时，销售量为万件，
该供应商可获得的总利润为（万元）．
【小问2详解】
设该商品的售价为元，由得．
设单件商品的利润为元，则
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．
18. 已知函数的图象经过两点．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）．
【解析】
【分析】(1)将两点的坐标代入解析式，可得关于的方程组，解出的值，即可求出的解析式；
(2)利用函数的单调性定义进行证明即可；
(3)先求出的值域，将对任意，总存在，使得成立转化为任意，在上的恒成立问题即可求解.
【小问1详解】
函数的图象经过两点，
，
，解得，；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
，即，
所以函数在上单调递增．
【小问3详解】
，
由（2）可得在上单调递增，
所以的值域为．
因对使得成立，
所以只需在上恒成立．
当时，，
设，则在上是减函数，
所以，所以．
当时，，
设，则在上为减函数，
所以，
所以，此不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
19. 若对定义域内任意，都有，则称函数“步长”增函数．
（1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；
（2）若函数是“步长”增函数，求的最小值；
（3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）“2步长”增函数，理由见解析
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由单调性及新定义即可判断；
（2）由恒成立，得到恒成立，进而可求解；
（3）结合新定义，由和两类情况讨论求解；
【小问1详解】
函数是“2步长”增函数．理由如下：
因为的定义域为在上都是单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以是“2步长”增函数．
【小问2详解】
因为是“步长”增函数，
所以恒成立，
所以
恒成立，
即恒成立，
由，解得或，
因为，所以．
【小问3详解】
若，在上单调递增，则恒成立，符合题意；
若，分以下情况：
①当时，单调递增，则恒成立；
②当时，，单调递增，则恒成立；
③当时，若，则，解得；
④当或时，若，则．
综上，的取值范围是．
【点睛】难点点睛：时，分，，，或求解.