人教版第一册上册函数的表示法表格教案

这是一份人教版第一册上册函数的表示法表格教案，共6页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
春季
课题
复习参考题6
教科书
书 名：普通高中教科书数学必修第二册 A 版
出版社：人民教育出版社 .7月
教学目标
1.能够理解平面向量的概念并掌握向量的运算以及几何意义。
2.能够掌握平面向量基本定理及坐标表示。
3.能够做到会用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
4.能够在本章的学习中，重点提升数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等素养。
教学内容
教学重点：
1.加深学生对平面向量的认识，提升他们的运算素养
2.能够综合运用向量知识、其他数学知识或物理知识，探寻解决问题的途径。
教学难点：
能够综合运用向量知识、其他数学知识或物理知识，探寻解决问题的途径。
教学过程
环节一：平面向量的概念与运算法则
环节设计意图：向量是刻画现实世界中“既有大小又有方向的量”的数学工具，引入向量概念后，建立向量运算体系至关重要，平面向量的运算体系为运用向量运算解决问题奠定了基础。以下两题借助向量的数量积运算、数乘运算等不同的向量运算重点考察学生对向量概念的理解。
例1如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是
A.B.
C.D.
选项A中，是两个单位向量，长度都为，但方向不一定相同，故A错误；选项B中，当时，，故B错误；选项CD中，由是两个单位向量，则，则，故C错误，D正确；
例2设是非零向量，是非零常数，下列结论中正确的是( )
A.与的方向相反B.
C.与的方向相同D.
选项A中，当时，与方向相同，故A错误；选项B中，时，，故B错误；选项C中，因为，所以与同向，故C正确；选项D中，是实数，是向量，不可能相等，故D错误．
题目设计意图：例1、例2分别借助数量积运算，数乘运算考查学生对向量概念的理解，在后续的作业练习中可以加入向量加法，向量减法的考查。
环节二：平面向量基本定理
环节设计意图：在理解向量概念与运算法则的基础上，平面向量基本定理进一步加深对向量的认识。它表明平面内的任一向量都可以唯一地表示成一个基底的线性组合，这是对平面向量的一个基础性，结构性的认识.此定理为利用向量运算解决问题带来了方便，由此定理还可引出向量的坐标概念，进而引出向量运算的坐标表示。
例3在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.B.
C.D.
基底向量要求两个向量不共线。选项A中，零向量与任意向量共线，故A错误。选项B中，，向量不共线，故B正确。选项C中两个，可知两个向量共线，故C错误。选项D中，可知两个向量共线，故D错误。
设计意图:通过该题目，让学生经历基底选择的过程，进一步体会基底的重要意义。
例4已知六边形为正六边形，且，分别用
表示
方法一(数形结合)：
因为六边形ABCDEF为正六边形，所以，且.又是等腰三角形，所以，从而可有，则，所以,同理有.
所以
，
，
设计意图：向量有丰富的几何意义，通过该方法让学生体会数形结合的思想方法，为后续的学习做好铺垫.
方法二(建系法)
以为原点，所在直线为轴正半轴，所在直线为轴，为方便计算，假设长度为2，因此设则
，，，可设
则，解得，所以，同理可得到其余向量的表达形式。
方法二设计意图：平面向量基本定理的基础性地位还体现在引进向量的坐标，用“数对”表示向量有利于更为一般地认识向量，为此采用建立坐标系的方法解决该问题。
例4设计意图：在例3已经选择好基底的情况下，通过例4让学生体会利用基底向量表示其他相关向量的作用。
例5已知，是不共线的向量，且，则( )
A.三点共线B.三点共线
C.三点共线D.三点共线
师生活动：引导学生回忆共线定理：
非零向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得。
并引导学生解决此问题
解：,因此选项A为正确选项
设计意图：让学生体会，在用基底向量表示不同向量后，可发现不同向量之间的运算即可转化为了基底向量之间的运算，体会平面向量基本定理的基础性、结构性。
环节三：平面向量运算解决几何问题
环节设计意图：从以上的问题均可以看出向量具有明确的几何背景，向量的运算具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。在解决问题的过程中，要充分利用向量的几何表示。
例6：已知向量，，当为何值时，与垂直？
师生活动：引导学生总结用向量求解几何问题的过程：
几何图形到向量 恰当地向量运算 向量到几何关系
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，例如距离、夹角等问题；
3.将运算结果“翻译”成几何关系
解：将垂直这一几何关系转换成它的充要条件数量积为0，再根据数量积运算法则得，最终得
设计意图：让学生体会处理平面向量的垂直、平行问题的关键是熟练地将问题转化为向量的数量积运算、数乘运算，本题在解决过程中需要调用平面向量的加减、数乘、数量积的坐标运算法则及平面向量垂直的充要条件。
例7.已知，向量满足条件，，求证：是等边三角形
设计意图：平面向量有数和形的双重身份，对于本问题，从代数和几何不同视角出发，就有不同的解题方法.
证法一(向量运算)：不失一般性，设，由得，则有，可得，则有，可得，同理均可计算得到，因此是等边三角形.
证法二(数形几何)：由可知点为的外心，只需再证为重心即可说明该三角形为正三角形，设为线段中点，则有，根据条件有，所以三点共线，同理为中线，因此可知为重心，由几何知识可知，是等边三角形。
环节四：正弦定理、余弦定理
环节设计意图：通过向量的线性运算和数量积运算可发现例如平行、垂直、距离、夹角等几何特征，进而能运用它们解决简单的平面几何、物理等问题。进一步地可以借助向量运算发现并证明余弦定理、正弦定理，得到边长、角度、面积之间的定量关系，并运用它们解决与三角形有关的问题或简单的实际问题，进而体会平面向量与代数、平面几何、物理和三角函数等知识之间的联系。
例8. 设计一种借助两个观察点(其中之间的距离是)测量航船的航向与速度的方法.
师生活动：引导学生总结用向量求解实际问题、物理问题的过程：首先将题目中的文字语言转化为符号语言或者图形语言，再借助解三角形的相关知识进行求解。本题我们应用数学阅读能力、数学作图技能将文字语言符号化、形象化，将题中要求的航向与速度转化为三角形中的角度与长度，做出示意图，再利用正余弦定理求解。
解：如图，是两个观察点，，为测量航船速度，不妨假设当航行时间为时，航船在处，从到的航向航行，当航行时间为时，航船已航行到处，此时可分别测定 ,,,,
根据正弦定理，在，中，可以计算长度，在中根据余弦定理，可以计算的长，即航船在此时间段航行的距离，可得航船速度为，再求或，这样就可以计算航船的航行与速度.
设计意图：通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，将实际问题数学化，学生以此可以培养数学建模素养，提高学生的分析和解决实际问题的能力。
环节五：课堂小结
向量是进一步学习和研究数学的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。同学们能否总结通过此次学习有哪些收获吗？
设计意图：引导学生在知识层面上进行自我总结，并在总结过程中注意体会类比、数形结合、化归与转化等数学思想方法。能够达到反思概括研究数学对象的思路,提炼数学思想方法,提升数学思维水平