高中数学人教版选修2（理科）第四章 数系的扩充──复数复数的运算表格教案设计

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课程基本信息
学科
高中数学
年级
高一
学期
秋季
课题
复数的四则运算（第二课时）
教科书
书 名：数学必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
能类比多项式的乘法探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法法则；会依据复数的乘法法则进行运算；了解一些共轭复数的性质。
能从实数的除法出发，探索复数的除法法则，能用自己的语言解释复数的除法法则；能进行复数除法的运算，并能用复数除法解决问题。
能在复数范围内解简单的实系数一元二次方程，积累复数范围内解方程的经验，理解复数的根与方程的关系。
在探究复数代数形式的乘、除法的过程中感悟数系扩充的必要性。
教学内容
教学重点：
1. 复数代数形式的乘、除法则及运算律。
教学难点：
1. 复数除法的法则。
2. 复数范围内解实系数一元二次方程。
教学过程
环节一：温故知新
问题1：我们已经学习了哪些复数运算法则？是如何研究的？
师生活动：学生回答，教师总结，引导学生体会复数运算与多项式运算间的联系。
设计意图：回顾旧知，为后续学习复数的乘法与除法性质奠定基础。
环节二：类比实数，获得法则
探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？
师生活动：学生先独立思考，然后进行小组讨论，最后形成共识：
则它们的积 a+bic+di =ac-bd+ad+bci.
追问1：复数的乘法与多项式的乘法有哪些联系？
师生活动：把复数a+bi中的实部和虚部看作常数，i看作“变元”复数相当于一个“一次二项式”，复数相乘相当于两个“一次二项式”相乘，令i2=-1后合并同类项后的结果。
追问2：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
师生活动：学生类比实数运算，思考后回答：
交换律：z1z2=z2z1
结合律：z1z2z3=z1(z2z3)
分配律：z1z2+z3=z1z2+z1z3
追问3：如何证明分配律：z1z2+z3=z1z2+z1z3.
师生活动：学生自主探究后小组交流，进行全班展示。其中分配律的证明如下：z1z2+z3 =a1+b1ia2+b2i+a3+b3i
=a1a2-b1b2+a1b2+a2b1i+a1a3-b1b3+a1b3+a3b1i;
z1z2+z1z3=a1+b1ia2+b2i+a1+b1ia3+b3i
=a1a2-b1b2+a1b2+a2b1i+a1a3-b1b3+a1b3+a3b1i.
所以 z1z2+z3=z1z2+z1z3.
设计意图：通过上述过程，让学生体会到复数乘法法则规定的合理性；引导学生发现乘法法则与多项式乘法之间的异同，有助于理解法则的本质；通过证明乘法的运算律，锻炼学生对乘法法则的熟练程度，发展逻辑推理、数学运算等素养。
例4 计算：1-2i3+4i-2+i.
师生活动：学生独立完成后，进行全班展示，并根据情况强调：-2i4i=-8i2=8.
设计意图：帮助学生理解乘法法则的运算过程，并引导学生结合多项式运算，锻炼学生用复数法则解决问题的能力，培养数学运算的素养。
例5 计算： （1）(2+3i)(2-3i)；（2）1+i2.
师生活动：学生独立完成并展示，并引导学生用平方差公式分析（1）.
追问1：你能发现复数系中的一些乘法公式吗？
师生活动：学生指出平方差公式、z1±z22=z12±2z1z2+z22等乘法公式.
追问2：观察(1)式中的两个复数，可以发现他们互为共轭复数，若z1,z2是共轭复数，则z1z2是一个怎样的数？
师生活动：学生先独立思考，教师引导总结：z1z2=a+bia-bi=a2-bi2=a2+b2,，所以z1z2是一个实数，且z1z2=z12=z22.
追问3：共轭复数还有哪些性质呢？设z=a+bi(a,b∈R)
师生活动：学生思考后回答，教师给出几条性质引导学生思考：
（1）z+z=2a，
（2）z1+z2=z1+z2，
（3）z1z2=z1z2.
设计意图：让学生了解复数系中的乘法公式与实数系中的乘法公式之间的联系与区别，让学生熟练运用乘法公式简化计算，通过追问，探究共轭复数的性质，巩固乘法法则，拓展学生视野，为学习复数的除法做准备
探究3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则。
师生活动：教师先从实数除法的定义拓展到复数的除法定义，学生理解后自主探究并小组讨论，注意类比复数减法法则的探究过程和复数相等的条件应用。在充分交流后总结：
即把满足c+dix+yi=a+bi的复数x+yix,y∈R叫做复数a+bia,b∈R 除以c+di(c,d∈R)的商，记作a+bi÷c+di或a+bic+di.
所以c+dix+yi=a+bi
所以 cx-dy=acy+dx=b⇒x=ac+bdc2+d2y=bc-adc2+d2
即 a+bi÷c+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2ia,b,c,d ∈R,c+di≠0.
追问1：这个法则的计算比较复杂，你还有其他方法求z1z2吗？
师生活动：教师通过设问的形式让学生认清困难点在于分母是一个复数，通过联想到互为共轭复数的两个复数乘积是一个实数，引导其用基本性质将除法运算转化为乘法运算，最后求解。教师需要在必要时给出提示，并给与学生鼓励和总结。推导过程如下：
z1÷z2=z1z2 =z1z2z2z2 =(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di) =(a+bi)(c-di)c2+d2 =ac+bd+bc-adic2+d2
小结：①除法写成分数形式
②分子与分母同时乘上分母的共轭复数
③分母“实数化”，化简结果
设计意图：通过类比实数除法和减法性质的获取过程，帮助学生了解复数代数形式的除法法则，并引导学生思考复数代数形式除法运算的通性通法，即可类比根式的除法，得到简单的操作程序：先把两个复数相除写成分数形式，再通过分子与分母同时乘以分母的共轭复数，使分母实数化，最后化简。
环节三：例题分析
例5（3）. 计算1+2i÷3-4i.
师生活动：学生自主计算并展示，教师在适当时机给出提示，并总结.
设计意图：通过例子让学生理解和熟练运用复数的除法运算，掌握复数除法的通性通解。
例6：在复数范围内解下列方程：
（1）x2+2=0;
（2）ax2+bx+c=0,其中a,b,c∈R,且a≠0,Δ=b2-4ac0) 的根为x=±ai.
（2）将ax2+bx+c=0的二次项系数化为1，得x2+bax+ca=0.
配方得x+b2a2=b2-4ac4a2 =--b2-4ac(2a)2，
由 Δ0. 类似 (1), 可得x+b2a=±-b2-4ac2ai.
所以原方程的根为 x=-b2a±-b2-4ac2ai.
小结：在复数范围内, 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式为:
（1）当 Δ⩾0 时, x=-b±b2-4ac2a;
（2）当 Δ