练习+答案 2024-2025学年江苏省常熟市实验中学七年级下学期3月月考数学

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1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A、，故本选项的计算错误；
B、，故本选项的计算错误；
C、，故本选项的计算错误；
D、，故本选项的计算正确．
故选：D
2. 2023年9月，华为最新的发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒麟芯片突破5纳米（1纳米毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 毫米B. 毫米C. 毫米D. 毫米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法；“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：5纳米毫米．
故选：C．
3. 下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平方差公式，及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
B．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
C．可以利用多项式乘以多项式法则计算，故不符合题意；
D．可以利用完全平方公式计算，故符合题意；
故选：D．
4. 如图，将沿着点B到C方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为（ ）
A. 52B. 20C. 10D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质得到，得到，然后根据梯形的面积公式求解．
【详解】解：∵沿B到C的方向平移到的位置，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
5. 若是完全平方式，则m的值为（ ）
A. 4B. 2C. 或4D. 4或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得或，
故选：D．
6. 比较、、的大小（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方．根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较．
【详解】解：∵，，，
∴；
故选：D．
7. 已知，则的值为（ ）
A. 32B. 16C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的运算法则（是整数）是解答本题的关键．
8. 如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系．
【详解】解：设左上角阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为，
S1=（BC-3）×，S2=（BC-）×5
=（BC -3）×-(BC-）×5．
=
=
当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，
，
．
故选择：．
【点睛】本题考查了多项式乘以单项式在几何图形问题中的应用，数形结合并根据题意正确表示出两部分阴影的面积之差是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分）
9. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂是解题的关键．
根据负整数指数幂的定义即可直接得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 如图，ΔABC沿着点B到点E的方向，平移到 ΔDEF的位置，已知BC=5，EC=3，那么平移的距离为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意得平移的距离即为BE的长，求得即可．
【详解】由题意得，平移的距离即为BE的长，
BE=BC-EC=5-3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，熟知平移的性质．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂相乘与积的乘方法则的逆用．逆用同底数幂相乘将原式变形后，再逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 若（x＋2）（2x－n）＝2x2＋mx－2，则m＋n＝_________．
【答案】4
【解析】
【分析】将等式左边去括号后合并同类项，与右边的项相对应，由一次项的系数相同的关系即可得到m与n的关系.
【详解】∵（x＋2）（2x－n）＝2x2＋mx－2，
∴2x2＋（4-n）x－2n=2x2＋mx－2，
∴4-n=m，
∴m+n=4，
故答案为：4.
【点睛】此题考查整式的乘法计算，注意合并同类项后使等号左右两边是对应关系.
13. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算．利用幂的乘方求得，再利用同底数幂的除法法则计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式是解题的关键．
由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可．
【详解】解：由题意知，大长方形的面积为，
∵，
∴需要C类卡片张数为张，
故答案为：．
15. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值．先求出，，再整体代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
16. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记：；；；若，则_____，_____．
【答案】 ①. 20 ②. 4
【解析】
【分析】根据二次项的系数为3，可得，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【详解】解：∵二次项的系数为3，
∴可以判断有三项，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20，4．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，根据二次项的系数判断出这个多项式有三项是解本题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）
（3）（简便计算）；
（4）．
（5）；
（6）
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（3）利用平方差公式，完全平方公式简便计算即可求解；
（4）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答
（5）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式计算即可解答；
（6）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式计算即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
；
小问5详解】
解：
；
【小问6详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，由题意得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均在格点上（网格线的交点）．现将三角形平移，点A平移到点D的位置，点B，C平移后的对应点分别是E，F，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
（1）画出平移后的三角形．
（2）若连接，则这两条线段的关系是________．
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）7
【解析】
【分析】本题考查平移作图，平移性质，利用网格求面积等．
（1）利用平移定义即可作出平移后的图形；
（2）根据平移的性质即可得到本题答案；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形即为所作：
【小问2详解】
解：由平移的性质可得，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：．
20. （1）若，求m的值；
（2）若n为正整数，且，求的值．
【答案】（1）m的值为15；（2）512
【解析】
【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可；
（2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值．
【详解】（1）解：原式
即，则，即，
∴m的值为15；
（2）解：原式．
∴的值为512．
21. 若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【小问1详解】
解： ，
，
解得；
【小问2详解】
解：，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．
22. 观察下列等式：
①，②，③，④，…
（1）请按以上规律写出第⑥个等式：________：
（2）猜想并写出第n个等式：________；并证明猜想的正确性．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键．
（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；
（2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证．
【小问1详解】
解：第⑥个式子为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：猜想第个等式为：，
证明：左边右边，
故答案为：．
23. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）________；
（2）已知，，，若，求y的值；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方，熟练掌握运算法则，理解题意是解此题的关键．
（1）根据结合题意即可得解；
（2）由题意可得，，，由结合同底数幂相乘的运算法则得出，即可得解；
（3）由题意可得，，由同底数幂的乘法法则结合题意得出，再由幂的乘方法则结合题意得出，即可得出，从而得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 有两类正方形A，，其边长分别为、．现将正方形放在正方形A内部得到图1，将正方形A，并列放置后构造新的正方形得到图2．若图1和图2的阴影部分的面积分别为1和12．

（1）正方形A，的面积之和为___________；
（2）三个正方形A和两个正方形如图3摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1）13 （2）29
【解析】
【分析】（1）由图甲得，由图乙得，计算两式可得答案；
（2）由（1）得，，再算出，，计算可得阴影面积．
【小问1详解】
解：正方形A，B的边长分别为a，b，
由图甲得，
由图乙得，
得，；
故答案为：13；
【小问2详解】
解：∵，，
，
，
，
，
，
∴图丙的阴影部分面积．
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式变形是解题关键．
25. 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．
【解决问题】
（1）当x为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
（2）如图1所示的是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；
（2）当时，；当时，．
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的运算，掌握配方法是解题的关键．
（）利用完全平方公式配方解答即可求解；
（）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解；
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
【小问2详解】
解：由题意得，，，
∴，
当时，，即，
∴当时，；
当时，，即，
∴当时，；
综上所述，当时，；当时，．
26. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：．
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果．
【形成结论】（1）探究2中_________；
【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）；（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键．
（1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案；
（2）结合（1）中的公式进行计算即可；
（3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由图可得：
大正方形的边长为，故大正方形的面积为，
大正方形面积还可以表示为，
，
故答案：；
（2），，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
，即，
，
．
27. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）：
图1表示：________；图2表示：________；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②请直接写出下列问题答案：
若，，则 ；
若，则 ．
（3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1），
（2）①；②；；
（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得；
（2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；
②根据将原式变形求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可．
【小问1详解】
解：图1中，由图可知，，也可以表示为，
∴，即，
故答案为：；
图2中，由图可知，，也可以表示为，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①，
，
，，
；
②由图2可得，
，，
，
，
．
故答案为：；若，则
设，，则，，
∵，∴，解得，∴，∴
．
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，
，，
，
长方形的面积是200，
，
，
令，，
，，
，
，
四边形的面积．