黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案

这是一份黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上， 已知点 P 为椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1. 已知复数 z=2−i3+i ，则 z= ( )
A. 2 B. 22 C. 3 D. 33
2. 已知集合 A=y y=x2−1,B=x x2+y2=2 ，则 A∩B= ( )
A. x −2≤x≤−1或1≤x≤2 B. {x∣x≥1 或 x≤−1}
C. {x∣x≥0} D. {x∣0≤x≤2}
3. 在平面直角坐标系中,角 α 的顶点为坐标原点 O ,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P−2,−23 ,将角 α 的终边按照顺时针方向旋转 15∘ 后得到角 β ,则 csβ+sinβ 的值为 ( )
A. 3−12 B. 3+12 C. 0 D. −2
4. 若数列 an 的首项为 1,且 an+1an=2n−12n+1 ,设 bn=an⋅an+1 ,则数列 bn 的前 20 项和 S20 为 ( )
A. 120 B. 141 C. 4041 D. 2041
5. 将 5 名程序专家全部分配到 1,2,3 号 3 个 AI 实验室指导工作,每个实验室至少分配 1 名专家，其中 A 专家必须去 1 号实验室，则不同的分配方案共有( )
A. 26 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种
6. 已知点 P 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上异于左右顶点的动点， F1、F2 为其左右焦点， 若有且只有两个点 P 使得 ∠F1PF2=α ,当 ∠F1PF2=α 时, PF1 与椭圆 C 交于另一点 A ,且 AF1=817PF1 ,则椭圆 C 的离心率为 ( )
A. 22 B. 32 C. 45 D. 35
7. 已知 a=ln75,b=cs25,c=25 ，则 a,b,c 的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. b>c>a D. c>a>b
8. 已知函数 fx=lnx,0e 若方程 fx=m 有三个不相等的实数根 x1,x2,x3 ,且 x10 的右焦点为 F2 ，点 F2 到其渐近线的距离为 1，且 C 的离心率为 52 .
(1)求 C 的标准方程；
( 2 )若 P0,1 ，直线 l:y=x+t 与双曲线 C 交于 A,B 两点，且直线 PA,PB 的斜率之和为 65 ， 求直线 l 的方程.
18. 一年之计在于春, 一日之计在于晨, 春天是播种的季节, 是希望的开端.某种植户对一块地的 nn∈N∗ 个坑进行播种,每个坑播 2 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 12 ,且每粒种子是否发芽相互独立. 对每一个坑而言, 如果全部的种子发芽, 则不需要进行补播种, 否则要补播种.
(1)当 n=3 时，用 X 表示要补播种的坑的个数，求 X 的分布列与数学期望.
(2)当 n 取何值时，有 4 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
19. 已知函数 fx=12ax2−a2+1x+alnx .
(1)讨论函数 fx 的单调性；
(2)若函数 fx 的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为 -2，求实数 a 的取值范围;
(3)当 a=1 时,若对 ∀x∈R ,有 f4x+4−x+17≥fm2x+2−x+1 恒成立,求实数 m 的取值范围.
1. B
z=2−i3+i=2−i3−i3+i3−i=5−5i10=12−12i,z=z=122+−122=22 . 故选: B.
2. D
A=y y=x2−1={y∣y≥0} ,
对于 x2+y2=2 ,则 y2=2−x2≥0 ,解得 −2≤x≤2 ,
故 B=x x2+y2=2=x −2≤x≤2 ,所以 A∩B=x 0≤x≤2 ,
故选: D.
3. D
因为角 α 终边经过点 P−2,−23 ,
所以 tanα=−23−2=3 ,且为第三象限角,
所以 α=4π3+2kπ,k∈Z ,
又将角 α 的终边按照顺时针方向旋转 15∘ 后得到角 β ,所以 β=α−π12=15π12+2kπ,k∈Z ,
所以
csβ+sinβ=2sinβ+π4=2sin15π12+2kπ+π4=2sin3π2+2kπ=2sin3π2=−2,k∈Z
故选: D
4. D
因 an+1an=2n−12n+1 ,则 an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×⋯×anan−1
=1×13×35×57×⋯×2n−32n−1=12n−1 ,当 n=1 时,符合题意,故 an=12n−1 ,
则 bn=an⋅an+1=12n−1⋅12n+1=1212n−1−12n+1 ,
故 S20=b1+b2+⋯+b20=121−13+13−15+⋯+139−141=12×1−141=2041 .
故选: D.
5. D
当 1 号实验室有 1 人时,即 A 专家,其余 4 名专家分配到 2 号和 3 号实验室, 且每个实验室至少 1 人，分配方案有 24−2=14 种；
当 1 号实验室有 2 人时，先从其余 4 名专家中选 1 人到 1 号实验室有 C41 种方法，
再将其余 3 名专家分配到 2 号和 3 号实验室且每个实验室至少 1 人有 23−2=6 种方法, 故共有 C4123−2=24 种;
当 1 号实验室有 3 人时,分配方案有 C42 A22=12 种;
可得不同的分配方案共有 14+24+12=50 种.
故答案为: 50
6. D
依题意由椭圆对称性可知, P 为椭圆上、下顶点时,有且只有两个点 P 使得 ∠F1PF2=α,
此时 PF1=a ,在 △PF1F2 中,易知 csα=a2+a2−4c22a2=a2−2c2a2 .
当 ∠F1PF2=α 时,易知 AF1=817PF1=817a,AP=2517a ,
又 AF1+AF2=2a ,所以 AF2=2617a .
在 △APF2 中，又 csα=a2+2517a2−2617a22×2517a2=725 ，
即可得 725=a2−2c2a2 ,解得 c2a2=925 , 因此椭圆 C 的离心率 e=35 .
故选: D
7. C
令 fx=ln1+x−x,x>−1 ,
则 f′x=11+x−1=−x1+x ,
令 f′x=0 ,得 x=0 ,
所以在 −1,0 上 f′x>0,fx 单调递增,在 0,+∞ 上 f′x