黑龙江桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试卷含答案

这是一份黑龙江桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分
1. 已知空间向量 a=1,2,−2,b=3,λ,μ−1 ，若 a//b ，则 λ+μ= ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2. 已知 an 为等差数列， a1+a2=19 ， a4+a5=25 ，则 an 的公差为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
3. 若 fx=2f′1x−x2+7x ,则 f−2= ( )
A. 2 B. -2 C. 10 D. -10
4. 已知圆 C1:x2+y2+4x+4y−1=0 ,圆 C2:x2+y2−2x−8y−8=0 ,则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5. 已知椭圆 C:x28+y27=1 的左、右两个焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的动点, Q 是圆 E:x2+y2−4x−8y+19=0 上任意一点，则 PQ−PF2 的最小值为( )
A. 4−42 B. 5−42 C. 4−22 D. 4+22
6. 在三棱台 ABC−A′B′C′ 中， AB=BC=BB′=2,A′B′=1 ，且 ∠ABC=π2 ，若 BB′⊥ 平面 ABC ,则点 B′ 到直线 A′C 的距离为 ( )
A. 22 B. 5 C. 3 D. 223
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,以原点 O 为圆心, OF2 为半径作圆,与双曲线 C 在第一、三象限分别交于 A、B 两点. 若四边形 AF1BF2 的面积为 8a2 ,则双曲线 C 的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2
8. 已知数列 an 中, a1=2,nan+1−an=an+1,n∈N∗ ,若对于任意的 a∈−2,2 , n∈N∗ ,不等式 an+1n+10,b>0 的一条渐近线的倾斜角为 π6 ,点 P 为 C 上位于第二象限内的一点, F1,F2 分别为 C 的左、右焦点,若 ▵PF1F2 内切圆的圆心为 I−3,m ,
则 ( )
A. 点 F1 到渐近线的距离为 3
B. 若 A23,2 ,则 PF2+PA 最小值是 213+6
C. 当 m=23−3 时, △PF1F2 的面积为 23
D. 若 O 为坐标原点,则 PF1⋅PF2−PO2=−6
第 II 卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点 F ，且与抛物线在第一象限的交点为 A ，若 AF=3 ， 则以点 A 为圆心 3 为半径的圆被 x 轴截得的弦长为_____.
13. 设函数 fx=sinxx ,则曲线 y=fx 在点 Mπ,0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_____.
14. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,若棱长为 1,E,F 分别为线段 BD1,BC1 上的动点,则下列结论中错误的序号为_____.
(1) DB1⊥ 平面 ACD1
(2)直线 AE 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为定值 13
(3)平面 A1C1B// 平面 ACD1
(4)点 F 到平面 ACD1 的距离为定值 33
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知圆 C:x2+y2−2x+4y−20=0 .
(1)求圆 C 的半径；
(2)若直线 l 与圆 C 相切于点 P4,2 ，求直线 l 的方程.
16. 已知函数 fx=x3−2x 的导函数为 f′x ,数列 an 满足 a1=4 .
(1)求过点 P2,4 的曲线 fx 的切线方程；
(2)若点 an,an+1 在 f′x 的图象上，求 an 的通项公式.
17. 如图,正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 的高为 3,且 AB=2A1B1=4

(1)求证:平面 BDC1⊥ 平面 ACC1A1 ；
(2)求 CC1 与平面 ABCD 所成角的余弦值.
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=12n2+12n .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=an2n ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 A−4,0,P2,−3 .
(1)求椭圆 C 的方程以及离心率；
(2)设直线 l:y=kx−2 与椭圆 C 交于 M,N 两点，过点 N 作直线 y=−6 的垂线，垂足为 Q . 判断直线 MQ 是否过定点,并证明你的结论.
1. A
因为 a=1,2,−2,b=3,λ,μ−1 且 a//b ,
所以 b=ta ,即 3=tλ=2tμ−1=−2t ,解得 t=3λ=6μ=−5 ,所以 λ+μ=1 .
故选: A
2. C
设该等差数列的公差为 d .
因为 a1+a2=19,a4+a5=25 ,
所以 a1+3d+a2+3d=25 ,即 6d+19=25 ,解得 d=1 .
故选: C
3. A
由 fx=2f′1x−x2+7x 求导得: f′x=2f′1−2x+7 ,
则 f′1=2f′1−2×1+7 ,解得 f′1=−5 ,即 fx=−x2−3x ,
所以 f−2=2 .
故选: A
4. B
化简 C1:x+22+y+22=9 ,则其圆心 C1−2,−2 ,半径 r1=3 ,
化简 C2:x−12+y−42=25 ,则其圆心 C21,4 ,半径 r2=5 ,
则 C1C2=−2−12+−2−42=35 ,而 r2−r1=2,r2+r1=8 ,
则 r2−r1