黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了答题前, 考生务必用直径 0，本卷命题范围， 已知直线 l1，030等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2.答题前, 考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围: 人教 A 版必修第二册第九章, 第十章, 选择性必修第一册第二 章, 第三章, 选择性必修第三册.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据70,95,100,88,90,92,90,85,86,94的第 75 百分位数与极差的差为( )
A. 67 B. 66 C. 65 D. 64
2. 已知 A,B,C 三地的位置及其间修筑的道路如图所示,则从 A 地到 C 地不同路线的条数是 ( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 设随机变量 X∼N4,9 ,若 PX>b−1=PX0 的焦点为 F2 .
(1)求 C1 和 C2 的方程；
(2)若点 H 在 C1 上，且 ∠F1HF2=60∘ ，求 △F1HF2 的面积；
(3)过点 P3,0 的直线 l 与 C1 交于 A,B 两点，与 C2 相交于 M,N 两点，试判断 1PA2+1PB2+1PM2+1PN2 是否为定值,若为定值,请求出该定值; 若不是,请说明理由.
1. D
将样本数据按从小到大排列为70,85,86,88,90,90,92,94,95,100,
共 10 个数据,且 10×75%=7.5 ,故样本数据的第 75 百分位数为第 8 个数,即 94,
极差为 100−70=30 ,
所以样本数据的第 75 百分位数与极差的差为 94−30=64 .
故选: D.
2. C
由图知,从 A 地到 B 地的道路有 2 条,从 B 地到 C 地的道路有 3 条,由分步乘法计数原理可知,从 A 地经过 B 地到 C 地不同的路线共有 2×3=6 条;
从 A 地不经过 B 地到 C 地的路线有 1 条.
根据分类加法计数原理可得,从 A 地到 C 地不同的路线共 6+1=7 条.
故选: C.
3. C
由正态分布关于均值对称,知 b−1+8−4b2=4 ,解得 b=−13 .
故选: C
4. A
因为直线 l1 与直线 l2 平行,所以 a×−a+3−1×−4=0 ,解得 a=−4 或 a=1 .
当 a=−4 时,直线 l1:−4x−4y+3=0 ,直线 l2:x+y+3=0 ,满足题意;
当 a=1 时,直线 l1:x−4y+3=0 ,直线 l2:x−4y+3=0 ,两直线重合,舍去.
综上所述， a=−4 .
故选: A.
5. B
由题知, 2n=32 ,解得 n=5 ,
所以 2x−15 的展开式的通项为 Tr+1=C5r2x5−r−1r=C5r−1r25−rx5−rr=0,1,2,3,4,5 , 令 5−r=2 ,得 r=3 ,所以 x2 的系数为 C53−1325−3=−40 .
故选: B.
6. D
因为每次取球都有 4 种可能, 且取 2 次, 根据分步乘法计数原理, 总的基本事件数 n=4×4=16 种,
小球号码之和等于 7 的情况有 3,4,4,3 ,共 2 种情况;
号码之和等于 6 的情况有 2,4,4,2,3,3 ,共 3 种情况;
号码之和等于 5 的情况有 1,4,4,1,2,3,3,2 ,共 4 种情况,
所以中奖的情况数 m=2+3+4=9 种,所以中奖的概率为 P=916 .
故选: D.
7. B
先将 6 名志愿者分成 5 组,从 6 人中选 2 人一组,其余 4 人各一组,共有 C62=15 种分法,
再将这 5 组全排列,对应 5 个项目,有 A55=120 种排法,
所以不同的分配方法种数为 15×120=1800 种.
故选: B.
8. C
由题知直线 l1:2ax−2+y−4=0 过定点 A2,4 ，直线 l2:x−4−2ay−2=0 过定点 B4,2 ,
又因为 2a×1+1×−2a=0 ,所以 l1⊥l2 ,所以点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆.
又 AB 的中点坐标为 3,3 ,半径 r=AB2=2−42+4−222=2 ,
所以圆的方程为 x−32+y−32=2 .
因为圆心 3,3 到直线 x−y+4=0 的距离为 3−3+42=22 ,
所以点 P 到直线 x−y+4=0 距离的最大值为 22+2=32 .
故选: C.
9. ABD
由 10×0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005=1 ,得 m=0.030 , A 正确;
平均数为 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 ,
所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为 71, B 正确;
因为 0.1+0.15+0.15=0.40.5 ,
所以中位数在第 4 组,
设中位数为 n ,则 0.1+0.15+0.15+0.03n−70=0.5 ,
解得 n=2203≈73.33 ,所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为 73.33, C 错误;
由频率分布直方图可知 100 件零件中二等品有 100×0.010+0.015×10=25 件,一等品有 100−25=75 件,
故从该厂随机抽取 20000 件该款零件,则一等品约有 20000×75100=15000 件, D 正确. 故选: ABD.
10. ABD
因为事件 A 与 B 相互独立,所以事件 A 与 B 相互独立,
所以 PAB=PAPB=0.5×0.8=0.4 ,
因为 PA∪B=PA+PB−PAB=0.5+0.8−0.4=0.9 , A 正确;
PA∪B=1−PA∩B=0.6 ,又 PA=0.5,PB=0.2 ,
所以 PA∩B=PA+PB−PA∪B=0.1 ,又 PAPB=0.1 ,
所以 PA∩B=PAPB ,即 A 与 B 相互独立, B 正确;
因为 A 与 B 互斥,所以 PA+B=PA+PB=0.5+0.2=0.7 ,
又因为 C 与 A+B 相互独立,
所以 PA+BC=PA+BPC=0.7×0.3=0.21 , C 错误;
因为 A 与 B 相互独立,所以 PAB=PAPB=0.5×1−0.2=0.4 ,
又因为 C 与 AB 相互独立,所以 PABC=PABPC=0.4×0.3=0.12 ,故 D 正确.
故选: ABD.
11. AC
双曲线 C:x29−y2=1 的实轴长为 2a ,虚轴长为 2b ,焦距为 2c ,则 a=3,b=1,c=9+1=10.
所以双曲线 C 的渐近线的斜率为 ±13 .
因为直线 l 与 C 的左支交于 A,B 两点,所以 k 的取值范围为 −∞,−13∪13,+∞ ,故 A 正确.
由双曲线定义得 PF1−PF2=2a=6 ,
设 PF1=m,PF2=n ,则 m−n=6,mn=9 .
在 △F1PF2 中,由余弦定理,知
cs∠F1PF2=m2+n2−2c22mn=m−n2+2mn−4c22mn=36+18−4018=79≠−12 ,
所以 ∠F1PF2≠2π3 ,故 B 错误.
设 PF1 的中点为 M ,又圆 x2+y2=9 的圆心为 O0,0,O 为 F1F2 的中点,所以
OM=12PF2.
又 PF1=6+PF2 ,所以以 PF1 为直径的圆半径为 R=12PF1=3+12PF2=3+OM ,
因为圆 O 的半径 r=3 ，所以两圆的圆心距 OM=12PF2=R−r ，所以两圆内切，故 C 正确.
由 PF1⋅PF2=0 ,知 ∠F1PF2=π2 .
设 △PF1F2 内切圆分别与 PF2,PF1,x 轴相切于点 D,E,Q ,
则
PF1−PF2=PE+EF1−PD+DF2=EF1−DF2=F1Q−QF2=F1Q+OQ−OF2−OQ=2OQ
因为 PF1−PF2=6 ,解得 OQ=3 . 所以点 N 的横坐标为 3 .
设 PF1=p,PF2=q,p−q=6,p2+q2=40 ,可得 p+q=211 .
因为 △PF1F2 的面积为 S=12pq=1 ,所以其内切圆半径
r′=S12p+q+2c=111+10=11−10,
所以点 N 的坐标为 3,11−10 或 3,10−11 ,故 D 错误.
故选: AC.

12. 36
由题知 DX=m×13×1−13=2m9 ,
所以 D2X+3=4DX=4×2m9=32 ,
解得 m=36 .
故答案为: 36
13. 516
因为 A,B 互相独立,所以 PA∣B=PA=15 .
又因为 PA∪B=PA+PB−PA∩B=34 ,
把 PA=15 代入可得: 15+PB−15PB=34 ,
故 PB=1116,PB=1−PB=516 .
由 A,B 相互独立,得 PB∣A=PB=516 .
故答案为: 516
14. 6
由题知“ n 张彩票都不中奖”的概率为 C27nC30n ,
故“ n 张彩票中至少有 1 张中奖”的概率为 1−C27nC30n .
由 1−C27nC30n>12 ,得 C27nC30n0,y3+y4=8m,y3y4=−83 .
又 PM2=x3−32+y32=my32+y32=m2+1y32,PN2=m2+1y42 ,
所以 1PM2+1PN2=y32+y42m2+1y32y42=y3+y42−2y3y4m2+1y32y42
=8m2−2×−83m2+1×−832=4m2+312m2+1,
所以 1PA2+1PB2+1PM2+1PN2=2+4m2+312m2+1 ,
当 m 变化时, 1PA2+1PB2+1PM2+1PN2 不是定值.
性别
满意
不满意
合计
男性
40
40
80
女性
80
40
120
合计
120
80
200
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
宣传费 x (十万元)
3
4
5
6
销量 y (百万件)
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
3
4
P
1 36
1
1336
13
1 9