黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上， 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 已知集合 A={0,1,2,3,8}, B={x∣x−1∈A} ，则 A∩B= ()
A. {2,3} B. {1,2} C. {3} D. {1,2,3}
2. 若复数 z 满足 zi=−1+i ( i 为虚数单位),则 z= ( )
A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i
3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦距与其虚轴长之比为3 :2,则 C 的离心率为 ( )
A. 5 B. 455 C. 355 D. 52
4. 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60∘ ,则 2e1−e2= ( )
A. 1 B. 3
C. 2 D. 7
5. 已知 fx 在 R 上是周期为 4 的奇函数,当 x∈0,2 时, fx=2x2 ,则 f2019 等于 ( )
A. -2 B. 2 C. -98 D. 98
6. 已知 sinα+π6=12+csα ,则 cs2α−π3= ( )
A. −12 B. 12 C. −34 D. 34
7. 设抛物线 y2=x 的焦点为 F ,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,已知 AF=2BF , 则 AB= ( )
A. 92 B. 98 C. 72 D. 3
8. 已知点 M,N 在圆 x2+y2−2y−3=0 上,点 P 在直线 3x−y−3=0 上,点 Q 为 MN 中点, 若 MN=23 ，则 PQ 的最小值为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
二、多选题
9. 已知 a>0,b>0 ,且 a+b=2 ,则()
A. 2a+2b0 成立的 n 最小为 10 D. 当 n=92 时, Sn 取得最小值
11. 已知向量 a=2,1,b=−3,1 ，则())
A. a+b⊥a B. a+2b=6
C. 向量 a 在向量 b 上的投影向量是 −65,25 D. 255,55 是向量 a 的单位向量
三、填空题
12. 已知等比数列的首项为 -1,前 n 项和为 Sn ,若 S10−S5S5=132 ,则 q 的值为_____.
13. 已知 A,B 是一个随机试验中的两个事件,且 PA=0.6,PA∩B=0.2,PA∪B=0.8 , 则 PB= _____.
14. 2024 年 8 月 20 日国产第一款 3A 游戏《黑神话:悟空》上线，首日销量超 450 万份， 总销售额超过 15 亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图 1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥,如图 2,已知正六棱锥的高为 h ,其侧面与底面夹角为 45∘ ,则六棱锥的体积为_____.

图1

图2
四、解答题
15. 已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列,若 a1=1 ,且 a2,a4,a8 成等比数列.
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn=1an⋅an+1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ；
16. 如图,已知 △ABC、△ACD 均是边长为 2 的等边三角形，且平面 ADC⊥ 平面 ABC ， M 为 AC 的中点,且 AC⊥BE .

(1)证明: AC⊥DE ；
(2)若 DE//MB,DE=1 ，求平面 DCE 与平面 ABC 夹角的大小.
17. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，且 2asinAcsB+bsin2A=23acsC .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 a=3 ,且 AB⋅BC=−6 ,求 △ABC 的面积.
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=12 ，当 n≥2 时， SnSn−1=Sn−1−Sn.
(1)证明数列 1Sn 为等差数列，并求 Sn ；
(2)求数列 2nSn 的前 n 项和为 Tn .
19. 已知曲线 C 到两个定点 −1,0 和 1,0 的距离和为定值 4 .
(1)求 C 的方程；
(2)过点 F1,0 的直线 l (斜率存在且不为 0 )与 C 交于 M,N 两点， N 关于 x 轴的对称点为 P . 已知 Q4,0 .
(i) 证明: P、M、Q 三点共线;
(ii) 求 MQ⋅NQ 的取值范围.
1. D
集合 A={0,1,2,3,8} ,则 B={1,2,3,4,9} ,
所以 A∩B={1,2,3} .
故选: D
2. D
解: 因为复数 z 满足 zi=−1+i ( i 为虚数单位),所以 z=−1+ii=−1+i−i1=1+i,
故选: D.
3. C
由题意可知, 2c:2b=3:2 ,则 c:b=3:2 ,设 c=3mm>0 ,则 b=2m ,
所以 a=c2−b2=5m ,故 C 的离心率为 e=ca=355 .
故选: C.
4. B
2e1−e2=2e1−e22=4e12−4e1⋅e2+e22=4×12−4×1×1×12+12=3 .
故选: B.
5. A
因为 fx 是 4 为周期的周期函数
所以 f2019=f4×505−1=f−1 ,
因为 fx 在 R 上是奇函数,则 f2019=f−1=−f1 ,
又因为当 x∈0,2 时, fx=2x2 ,则 f2019=−f1=−2
故选: A.
6. B
因为 sinα+π6=12+csα ,
则 32sinα+12csα=12+csα ,即 32sinα−12csα=12 ,
所以 sinα−π6=12 ,
则 cs2α−π3=cs2α−π6=1−2sin2α−π6=1−2×122=12 .
故选: B.
7. B
由题可得 F14,0 ,
设直线 l 的方程为 x=my+14,Ax1,y1,Bx2,y2 ,
x=my+14y2=x ,可得 y2−my−14=0 ,
所以 y1+y2=m,y1y2=−14 ,
因为 AF=2BF ,所以 AF=2FB ,
所以 14−x1,−y1=2x2−14,y2 ,
所以 −y1=2y2 ,所以 y1=2m,y2=−m ,
所以 −2m2=−14 ,所以 m2=18 ,
x1+x2=my1+14+my2+14=my1+y2+12=m2+12=58 ,
AB=x1+14+x2+14=x1+x2+12=58+12=98.
故选: B.
8. A
由题意可得圆的标准方程为 x2+y−12=4 ,
设圆心为 C ,半径为 r ,则 C0,1,r=2 ,
所以由垂径定理可得 CQ=22−32=1 ,故点 Q 在以 C0,1 为圆心,1 为半径的圆上,

因为点 C 到直线 3x−y−3=0 的距离 d=0−1−33+1=2 ,
所以 PQ 的最小值为 2−1=1 ,
故选: A
9. BCD
选项 A: 取 a=b=1 ,则 21+21=4,22≈2.828 ,故 2a+2b>22 , A 错误.
选项 B: 1a+1b=a+bab=2ab ,由 a+b=2≥2ab 得 ab≤1 ,故 2ab≥2 ,
当且仅当 a=b=1 时取等号, B 正确.
选项 C: lg2a+lg2b=lg2ab ,由 ab≤1 得 lg2ab≤lg21=0 ,
当且仅当 a=b=1 时取等号, C 正确.
选项 D: a2+b2=a+b2−2ab=4−2ab ,由 ab≤1 得 4−2ab≥2 ,
当且仅当 a=b=1 时取等号, D 正确.
故选: BCD
10. BC
对于 A 选项,因数列 an 为等差数列, Sn=n2−Bn+C ,则 C=0 ,且 a1=−8 , 则 S1=1−B=−8 ,所以 B=9 , A 错误;
对于 B 选项，由 A 知 Sn=n2−9n ，则 S2=4−18=−14=a1+a2 ，则 a2=−6 ，
则公差 d=a2−a1=2 , B 正确;
对于 C 选项,由 n2−9n>0 ,得 n>9 或 n