黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷(共 58 分)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知某数列为 −2,34,−49,516,−625,⋯ ,按照这个规律,则该数列的第 10 项是( )
A. −1081 B. 1081 C. −11100 D. 11100
2. 已知 F1,F2 分别是椭圆 E:x29+y25=1 的左、右焦点, P 是椭圆 E 上一点,若 PF1=2 , 则 PF2= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 向量 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,且 a=1,3,5,b=x,y,2 ,若 l1//l2 ,则 ( )
A. x=15,y=35 B. x=3,y=15
C. x=25,y=65 D. x=32, y=152
4. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别为棱 AD,A1B1 的中点,则异面直线 EF 与 AD1 所成角的余弦值为( ).
A. 36 B. 33 C. 22 D. 63
5. 已知两点 A1,−2,B2,1 ,直线 l 过点 P0,−1 且与线段 AB 有交点,则直线 l 的倾斜角的取值范围为( )
A. 0,π4∪3π4,π B. 0,π4∪π2,3π4
C. π4,3π4 D. π4,π2∪π2,3π4
6. 已知数列 an 满足 a1=1 ,且 an+1=annan+1 ,则 a10= ( )
A. 145 B. 146 C. 155 D. 156
7. 如图,记三棱锥 P−ABC 的体积为 V,23≤V≤2,BA=BC=2,∠ABC=90∘,D 为 AC 的中点, 且 PD⊥ 平面 ABC ,则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为 ( )

A. 234π,9π B. 376π,10π C. 8π,1219π D. 12π,1357π
8. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，若椭圆上存在点 Q ，使 ∠F1QF2=120∘ ,则椭圆离心率 e 的取值范围为( )
A. 0,32 B. 0,32 C. 32,1 D. 32,1
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若椭圆 C:x2m+y2m2−1=1 的一个焦点坐标为 0,1 ，则( )
A. m=2 B. C 的长轴长为 3
C. C 的短轴长为 22 D. C 的离心率为 13
10. 在正三棱柱 A1B1C1−ABC 中， AA1=3AB ，则( )
A. 直线 AA1 与 CB1 所成的角为 30∘
B. 直线 AC1 与 CB1 所成的角为 60∘
C. AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为 32
D. AC1 与侧面 AA1B1B 所成角的正弦值为 34
11. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 Sn=2n2−3 ,则 an 是等差数列
B. 若 an 是等差数列,且 a3=5,a2+a10=2 ,则数列 an 的前 n 项和 Sn 有最大值
C. 若等差数列 an 的前 10 项和为 170,前 10 项中,偶数项的和与奇数项的和之比为 9:8, 则公差为 2
D. 若 an 是等差数列,则三点 10,S1010、20,S2020、30,S3030 共线
第II卷(共92分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 正项等比数列 an 中， a4=1,a5a11=81 ，则 a6= _____.
13. 方程 x2m−2+y26−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是_____.
14. 如图 1, 北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念, 创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种. 如图 2,一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面,尊高 63cm, 上口直径为 40 cm ,底部直径为 26 cm ,最小直径为 24 cm ,则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为_____.

图1

图2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A−1,5、B−2,−1、C4,3,M 是 BC 边上的中点.
(1)求 AB 边所在的直线方程；
(2)求中线 AM 的长
(3)求 AB 边的高所在直线方程.
16. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,E,F 分别为棱 BB1,DC 的中点，建立空间直角坐标系, 如图所示.

(1)写出正方体 ABCD−A1B1C1D1 各顶点的坐标；
(2)写出向量 EF ， B1F ， A1E 的坐标；
(3)求向量 A1C 在向量 AC 上的投影向量的坐标.
17. 已知数列 an 中， a1=1,an+1an=2n ， n∈N∗ .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=lg2an2+3n ，求数列 1bn 的前 n 项和 Sn .
18. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=BC,AC=AA1 ，点 D 为棱 AC 的中点，平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C, ，且 ∠A1AC=60∘ .

(1)求证: A1D⊥ 平面 ABC ；
(2)若 AB⊥BC ，求二面角 D−B1C−B 的正弦值.
19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63 ，上顶点 B 的坐标为 0,1 .
(1)求 C 的方程；
( 2 )已知 M 为 C 上一点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，若点 S 满足 NS=3NM ，当点 M 在 C 上运动时,求点 S 的轨迹方程;
1. D
由题意,数列 −2,34,−49,516,−625,⋯ ,可化为 −1+11,2+14,−3+19,4+116,−5+125,⋯ , 所以数列的一个通项公式为 an=−1nn+1n2 ,所以该数列的第 10 项是 a10=11100 .
故选: D.
2. C
由椭圆 E:x29+y25=1 可知其半长轴长为 a=3 ,
因为 P 是椭圆 E:x29+y25=1 上一点,所以 PF1+PF2=2a=6 ,
而 PF1=2 ,所以 PF2=6−PF1=4 .
故选: C
3. C
因为 l1//l2 ,所以 a//b ,所以 a=tb,∴1,3,5=tx,y,2 ,所以 1=tx3=ty5=2t ,解得 x=25, y=65.
故选: C.
4. A
如图建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2,

则 E1,0,0,F2,1,2,A2,0,0,D10,0,2 ,
∴EF=1,1,2,AD1=−2,0,2 ,
∴csEF,AD1=EF⋅AD1EF⋅AD1=26×22=36 ,
即异面直线 EF 与 AD1 所成角的余弦值为 36 .
故选: A.
5. A
如图所示,直线 PA 的斜率 kPA=−2+11−0=−1 ,直线 PB 的斜率 kPB=1+12−0=1 .
由图可知,当直线 l 与线段 AB 有交点时,直线 l 的斜率 k∈−1,1 ,
因此直线 l 的倾斜角的取值范围是 0,π4∪3π4,π .
故选: A.

6. B
∵an+1=annan+1 ,则 1an+1=nan+1an=1an+n,∴1a2−1a1=1,1a3−1a2=2,… , 1a10−1a9=9 ,以上各式相加可得, 1a10−1a1=1+2+3+⋯+9=45,∴a10=146 .
故选: B
7. C
因为 BA=BC=2,∠ABC=90∘ ,所以 S△ABC=12×BA×BC=2 .
由于三棱锥 P−ABC 的体积为 V,23≤V≤2,PD⊥ 平面 ABC ,
所以 V=13×S△ABC×PD=23PD∈23,2 ,所以 1≤PD≤3 .
因为等腰直角 △ABC 中， D 为 AC 的中点，
所以 BD=AD=CD=12AC=12×22+22=2 .
因为 PD⊥AC ,所以三棱锥外接球的球心在直线 PD 上.
设外接球半径为 R ,则根据勾股定理得
R2=22+PD−R2 ,化简得 PD2−2PD⋅R+2=0 ,
即 R=PD2+22PD=12PD+1PD≥212PD⋅1PD=2 ,
当且仅当 PD=2 时等号成立.
因为 1≤PD≤3 ,当 PD=1 时, R=12+1=32 ;
当 PD=3 时, R=32+13=116 ;
所以 2≤R≤116 ,
此时该外接球的表面积为 8π≤S=4πR2≤1219π .
故选: C.
8. D
设椭圆的上顶点为 B ,连接 BF1、BF2 ,如图所示:

则 BF1=BF2=a,OF2=c ,
椭圆上存在点 Q ,使得 ∠F1QF2=120∘ ,则需 ∠F1BF2≥120∘ ,
则 ∠OBF2≥60∘ ,显然 ∠OBF2