黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期开学数学试卷+答案

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期开学数学试卷+答案，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知数列 满足 ， ，则， 已知 ， 是双曲线 ， 记 为等差数列 的前 项和等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟；满分：150 分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120°，则直线 与平面 所成的角等于( )
A. 120° B. 30° C. 60° D. 60°或 30°
【答案】B
【解析】
【分析】因直线方向向量与平面的法向量的夹角为 ，所以线面角为 ．
【详解】设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，故选 B．
【点睛】一般地，如果直线的方向向量 与平面的法向量 的夹角为 ，直线与平面所成的角为 ，则
．
2. 下列选项中的曲线与 共焦点的双曲线是（ ）
A. B. 1
C. 1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线 的焦点位置及半焦距，再逐项判断作答.
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【详解】双曲线 的焦点在 x 轴上，半焦距 ，
对于 A，方程 ，即 ，是焦点在 x 轴上的双曲线，而半焦距为 ，A
不是；
对于 B，C，方程 、 都是焦点在 y 轴上的双曲线，BC 不是；
对于 D，方程 是焦点在 x 轴上的双曲线，半焦距为 ，D 是.
故选：D
3. 将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移的法则“左加右减”的原则，即可得到答案.
【详解】因为函数 的图象向右平移 个单位后，
得到 的图象，
所以 .
故选：A.
4. 若直线 经过点 ，且点 ， 到它的距离相等，则 的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然
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后利用直线方程的知识求解即可.
【详解】根据题意，分情况讨论可得：
当两个点 ， 在所求直线的异侧时，
即过线段 的中点 ．由于直线又经过 ，
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为 ；
当 ， 在所求直线同侧时，
直线 与所求的直线平行，
又因为 ，
所以所求的直线斜率为 ，由于直线又经过 ，
直线方程为 ，
化简得： ，
综上，满足条件的直线为 或 ，
故选：C．
5. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出数列 的周期为 ，可得 .
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
， ，……，
所以数列 的周期为 ，所以 .
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故选：A.
6. 若向量 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，
使得： ，我们把有序实数组 叫做基底 下向量 的斜坐标.设向量 在
基底 下的斜坐标为 ，则向量 在基底 下的斜坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】待定系数法设 ，结合所给定义及其在基底 下的斜坐标
计算即可得.
【详解】设 ，
又 ，
，解得 ，
即 .
所以向量 在基底 下的斜坐标为 .
故选：D.
7. 已知 是等差数列 的前 项和， ，且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 公差
B.
C.
D. 时， 最大
【答案】D
【解析】
【分析】由题设求出 即可判断 A；由 和等差数列通项公式和前 n 项和公式即可判断
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BC；由 和前 n 项和公式结合一元二次函数性质即可判断 D.
【详解】设数列 的公差为 d，
对于 A，因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D，因为
，
所以 时， 最大，故 D 错误.
故选：D.
8. 已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，椭圆 与双曲线 的焦点相同，
与 在第一象限的交点为 P，若 的中点在双曲线 的渐近线上，且 ，则椭圆的离心率是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出 ，利用中位线定理找到 , 的关系，再结合
，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设 ，设椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ，
虚半轴长为 ，则由椭圆及双曲线定义可得： ，
又因为 ，且 分别为 ， 的中点，所以 ,
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所以 到渐近线 的距离为 ，
所以 ， ，结合 ，可得： ①
因为 ，所以 即 ，
整理得： ，将①代入， ，所以 .
故选：C.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.）
9. 记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由 求出 ，再由 可得公差为 ，从而可求得其通项公式和前 项
和公式
【详解】由题可知， ，即 ，所以等差数列 的公差 ，
所以 ， .
故选：AC.
【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.
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10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则
B. 直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C. 两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
D. 直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断 BD 的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判
断 C 的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断 A 的正误.
【详解】对于 A，因为 ，所以直线 ， 的方向向量共线，故 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，所以 不共线，故 不成立，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，故 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 共线，所以 ，故 D 错误；
故选：AC．
11. 已知圆 ，直线 （其中 为参数），则下列选项正确的是
（ ）
A. 圆心坐标为
B. 若直线 与圆 相交，弦长最大值为 12
C. 直线 过定点
D. 当 时，直线 与圆 相切
【答案】AD
【解析】
【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而得到圆心和半径，判断 AB 两个选项，由直线 的方程，
令 的系数为 求得定点，判断 C 选项，由点到直线的距离判断 D 选项.
【详解】由圆 可化为 ，故 A 正确；
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弦长最大值为直径 ，B 错误；
由直线 方程可化为 ，则直线过定点 ，故 C 错误；
当 时，直线 即 ，
圆心到直线的距离 ，从而直线与圆相切，故 D 正确．
故选：AD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
12. 随机敲击电脑键盘上的 1，2，3 这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰
好都是奇数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型求解即可.
【详解】由题意，所有 结果有 共 种，
符合题意的有 共 种，
所有所求概率为 .
故答案为： .
13. 一个动圆与定圆 相外切，且与直线 相切，则动圆圆心的轨迹方程为
_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，动圆圆心的轨迹是以点 为圆心，以直线 为准线的抛物线，由此可得出
动圆圆心的轨迹方程.
【详解】由题意可知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
由于动圆与定圆 相外切，且与直线 相切，
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动圆圆心到点 的距离比它到直线 的距离大 ，
所以，动圆圆心到点 的距离等于它到直线 的距离，
所以，动圆圆心的轨迹是以点 为圆心，以直线 为准线的抛物线，
设动圆圆心的轨迹方程为 ，则 ，可得 ，
所以，动圆圆心的轨迹方程为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足
的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程，即
为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
14. 已知等比数列 是递增数列， 是 的前 项和，若 ， 是方程 的两个根，则
__________．
【答案】63
【解析】
【详解】试题分析：因为 是方程 的两个根，且等比数列 是递增数
列，所以 ，即 ，则 ；故填 63．
考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在四边形 中， ，且 ．
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（1）求 长；
（2）求 的长；
（3）求 ．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义列方程求解即可；
（2）根据向量共线的性质求出 以及 ，再利用余弦定理求解即可；
（3）利用余弦定理求出 ，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为
所以
，
，即 ；
【小问 2 详解】
， 且 ，
，
，
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；
【小问 3 详解】
16. 已知数列 的前 n 项和 .
（1）求证： 是等差数列；
（2）求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据 和 的关系求出数列 的通项公式；再根据等差数列的定义即可证明数列 是
等差数列
（2）由通项公式 可知：当 时 .分两种情况，根据等差数列的前 n 项和即可解答.
【小问 1 详解】
证明：
当 时， ；
当 时， ；
经验证当 时上式成立，
所以 .
因为 （常数）
所以数列 是等差数列.
【小问 2 详解】
由(1)知： .
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令 ，则 .
因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
综上所得：
17. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自
觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表
明，参与调查者中关注此问题的约占 .现从参与调查的人群中随机选出 人，并将这 人按年龄分
组：第 组 ，第 组 ，第 组 第 组 第 组 得到的频率分布直
方图如图所示：
（1）求 的值
（2）求这 人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第 组中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行问卷调查，
求第 组恰好抽到 人的概率.
【答案】（1） ；（2）平均数为 岁；中位数为 岁；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图即能求出 ；
（2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数；
（3）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，则第 1，2 组抽取
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的人数分别为 2 人，3 人，再利用列举法即可求出.
【详解】解：（1）由 ，得 .
（2）平均数为 岁；
设中位数为 ，则 ，∴ 岁.
（3）第 组的人数分别为 人， 人，从第 组中用分层抽样的方法抽取 人，
则第 组抽取的人数分别为 人， 人，分别记为 .
从 人中随机抽取 人，有
，
共 个基本事件，从而第 组中抽到 人的概率 .
【点睛】方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注意思考的顺序，
做到不重不漏.
18. 如图.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 为 中点，
且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由线面平行 判定定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【小问 1 详解】
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连接 ，交 于点 ，连接 ，
∵ 为 中点， 为 中点，∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
【小问 2 详解】
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 .
设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
∴ ，∴ ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
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19. 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点相同， 、 分别为椭圆 的
左、右焦点，M 为 C 上任意一点， 的最大值为 1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）不过点 F2 的直线 l:y=kx+m (m≠0)交椭圆 C 于 A，B 两点.
①若 k2= ,且 S△AOB = ，求 m 的值；
②若 x 轴上任意一点到直线 AF2 与 BF2 距离相等，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1） ；（2）① ；②直线 恒过定点 .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可求得 ， ，进而求得 ，由此得到椭圆方程；
（2）①联立方程，得到 与 不等关系，及两根的关系，表示出弦长 及点 到直线 的距离，由
此建立等式解出即可；②依题意， ，由此可得到 与 的等量关系，进而求得定点．
【详解】（1）由抛物线的方程 得其焦点为 ，则 ，
当点 为椭圆的短轴端点时， 面积最大，此时 ，则 ，
，故椭圆的方程为 ；
（2）联立 得， ，
，得 ，
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设 ， ， ， ，则 ，
① 且 ，代入 得， ，
，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
，
，则 ；
② ，由题意， ，
，即 ，
，解得 ，
直线 的方程为 ，故直线 恒过定点，该定点坐标为 ．
【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或
曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程
后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数 ，结合已知条件求出直线或曲线的方
程，分离参数得到等式 ，（一般地， 为关于 的
二元一次关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点.
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