广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求解不等式，得，即集合，
又，所以.
故选：C.
2. 题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”的否定为“，”.
故选：B.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
.
故选：.
4. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
综上，.
故选：B.
5. 设，若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】画出画出函数的图象，如上图所示，由图象可知，
当且时，才可能使得，
所以，解得.
故选：B.
6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由幂函数定义知，，解得或，
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，故.
所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线，
又在上单调，则或，
解得或，即实数的取值范围为.
故选：D.
7. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，两边平方得，
即，而，故.
所以，而，
解得，
所以.
故选：A.
8. 已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为的图象关于对称，所以函数的图象关于，
所以函数为偶函数，即，
又当时，当时，，，
即，所以，
由题意可得，函数的图象如下图所示：
若函数有零点，等价于方程有解，等价于函数与函数的图象有交点，
由上图可知，当时，满足题意.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的有（ ）
A. 可能为锐角B.
C. D. 点在第二象限
【答案】BC
【解析】对于A，角的终边经过点，则角为第二象限角，不可能为锐角，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，则点在第三象限，D错误.
故选：BC.
10. 已知且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，且，可知，，所以，
所以，即，故A正确；
对于B，
，
当且仅当时，取等号，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，当且仅当时，取等号，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知不等式，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则不等式的解集为
B. 若，则不等式的解集为
C. 若，恒成立，则整数的取值集合为
D. 若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】，
对于A，若，恒成立，
所以的解集为，故A正确；
对于B，若，则，的解集为，故B正确；
对于C，恒成立，即，
当时，等价于，
解不等式组得，所以整数的取值为，
当时，恒成立，满足题意.
综上所述，整数的取值为，故C错误；
对于D，当时，的解集为，
易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去.
当时，的解集为，
若该解集中恰有两个整数解，则，解得.
综上，实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】由题意可得，解不等式组得且，
所以函数的定义域为.
13. ________．
【答案】13
【解析】原式
.
14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________
【答案】
【解析】函数，
则；
，
因此函数的周期为，
则，
当时，；
当时，，；
当时，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
因此，，
所以集合中所有元素之积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）解一元二次不等式，得或，
所以或，所以，
当时，，
所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
又因为，所以，或，
解不等式组得，
综上所述，实数的取值范围为.
16. 已知函数的最小正周期为，且．
（1）求函数的解析式及其单调递减区间；
（2）求在上的最大值与最小值．
解：（1）由函数的最小正周期为，得，解得，
由，得，解得，所以函数的解析式为；
由，得，
所以函数的单调递减区间是.
（2）当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以函数在上的最大值与最小值分别为.
17. 某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量（单位：个）与经过时间（，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②．
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：，）
解：（1）由指数函数和幂函数函数图象可知：
的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
依题意选函数更适合，
则有，解得，即.
（2）令，则，即开始时放入的细菌的数量为8个，
令，
∴，
∵，∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.
18. 设函数．
（1）判断的奇偶性并予以证明；
（2）设，经研究，此时有，证明：；
（3）设，且，若，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数是奇函数.
函数中，由，得，
，，
所以函数是奇函数.
（2）当时，
，
因此，
，
所以.
（3）由，得，又，
由（1）（2）得，
函数，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，
当时，，
由，，得，
所以实数的取值范围是.
19. 设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质．
（1）判断函数，是否具有性质，并说明理由．
（2）是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由．
（3）若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有．
解：（1）当时，；
当时，，即，所以，即；
所以函数，具有性质.
（2）当时，函数具有性质，理由如下：
由函数周期性可知，当时，，
即恒成立，所以函数具有性质.
（3）当时，与的草图如下图所示：
当时，
当时，
当时，由图易知，当时，均不满足恒成立，即不有性质；
当时，与的草图如下图所示：
当时，由图易知，当时，不满足恒成立，即不有性质；
当时，由图易知，当时，，使得，不符合题意；
由图易知，当时，即，函数同时满足条件①与②.
综上所述，.