广东省汕头市潮南区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份广东省汕头市潮南区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合，
则.
故选：B.
2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ）
A. ，使得
B. ，使得
C. ，使得
D. ，使得
【答案】C
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，
则命题的否定是“，使得”.
故选：C.
3. 已知：，：方程有实数根，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由方程有实数根，则满足，解得，
所以是方程有实数根的充分不必要条件，
即是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图知，
角的取值集合为：
.
故选：D.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；
又因为，故排除D项.
故选：A.
6. 已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】易知函数的定义域为，且在上单调递增；
显然，f0=ln0+2+0=ln2>0，
所以，再根据的定义可知.
故选：B.
7. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，函数在上单调递增，函数在R上单调递减，
则a=(35)25>c=(25)25>(25)35=b，所以的大小关系为.
故选：D.
8. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：
A. 2024年B. 2023年C. 2026年D. 2025年
【答案】C
【解析】依题意，第n时投入资金为亿元，
设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
则，得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，易知，可得A错误；
对于B，易知，即B正确；
对于C，易知
，即可得C错误；
对于D，，可得D正确.
故选：BD.
10. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的是（ ）
A. 为非奇非偶函数
B. 的值域是
C. 若，则
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】由函数是幂函数，设，又的图像经过点，
所以，∴，即．
对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，，
由函数单调性的性质可知，函数是上的减函数，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．则（ ）
A.
B.
C. 的一个对称中心是
D. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为
【答案】AC
【解析】A选项，设的最小正周期为，则，
故，
因为，所以，解得，A正确；
B选项，由图象可知，，故，
将代入得，，
又，故，解得，所以，B错误；
C选项，，
，的一个对称中心是，C正确；
D选项，，其中，，，
画出在的图象如下：
要想上有两个不相等的实数根，则的取值范围是，
则实数的取值范围为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________.
【答案】6
【解析】设这条弧所在圆的半径为，将化为弧度即为；
利用弧长公式可得，解得.
13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
所以.
14. 函数，若，则_________；若函数是上的增函数，则的取值范围是___________.
【答案】0
【解析】（1）当时，，.
（2）因为函数在上递增，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合．
（1）若，求．
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）对于不等式，解得或.
那么.
当时，集合.
.
（2）当时，满足.
此时，解这个不等式得.
当时，即.
因为，所以m>0m≥-52m≤4，解得.
综上，的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）若在定义域内恒成立时，求取值范围．
解：（1）由1+x>0，1-x>0，解得x>-1，x3，且终边与单位圆交点，终边在第一象限，
则，则，
则终边落在第一象限，则，则，；
则的值为.
18. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从中学行驶到中学，其中，国道上行驶50km，高速上行驶300km．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：km/h）满足，且每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的关系满足．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
解：（1）对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得，
∴．
（2）高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从中学行驶到中学的总耗电量最少，最少为．
19. 若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的函数解析式；
（2）求在内的“倒域区间”；
（3）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰有2个元素．
解：（1）当时，．
所以．
（2）设，因为在上递减，
所以，整理得，解得．
所以在内的“倒域区间”为．
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，
所以，即同号，所以只需考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上知：．