初中实数及其简单运算一课一练

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题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根
题型二：实数的分类
题型三：利用算术平方根的非负性解题
题型四：平方根、立方根的规律探索问题
题型五：平方根、立方根的实际应用
题型六：无理数的估算
题型七：实数与数轴
题型八：实数比较大小
题型九：实数的新定义运算
题型十：实数与程序框图
题型十一：实数有关的规律问题
题型十二：实数的混合计算
题型十三：实数的综合问题
【题型探究】
题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．10的平方根是B．8是64的一个平方根
C．的立方根是D．的算术平方根是
2．（23-24七年级下·全国·期末）判断下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根B．是的算术平方根
C．的平方根是D．算术平方根等于本身的数是
3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.04的平方根是0.2B．
C．的算术平方根是2D．64的立方根是
题型二：实数的分类
4．（20-21七年级下·全国）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（20-21七年级上·河北承德·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣不仅是有理数，而且是分数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
6．（23-24七年级上·浙江金华·期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型三：利用算术平方根的非负性解题
7．（24-25七年级上·湖北·期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（ ）．
A．B．C．D．
9．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型四：平方根、立方根的规律探索问题
10．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行

根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A．B．C．D．
11．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
12．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列：
第一行
第二行 2
第三行
… ……
则第八行左起第1个数是（ ）．
A．B．C．D．
题型五：平方根、立方根的实际应用
13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（ ）

A．1B．2C．3D．4
14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（ ）
A．之间B．之间
C．之间D．之间
15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
题型六：无理数的估算
16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ．
17．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ．
18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的值在两个相邻的整数和之间，则 ．
题型七：实数与数轴
19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：

（1）b的值是 ．
（2）的平方根是 ．
题型八：实数比较大小
22．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）将，，，这四个数按从小到大的顺序用“”号连接起来应为 ．
23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ．
24．（23-24七年级下·广东东莞·期中）比较大小： 4； 1（填“”或“”）
题型九：实数的新定义运算
25．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ．
26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ．
27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是 ．
题型十：实数与程序框图
28．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ．
29．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ；
（2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ．
30．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ．
题型十一：实数有关的规律问题
31．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
32．（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ．
33．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ．
题型十二：实数的混合计算
34．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．（精确到，其中
36．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型十三：实数的综合问题
37．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ；
（2）由（1）可知：
① ；
② ；
③ ；
（3）计算（结果保留根号）：
①；
②．
38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料：
通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是
(1)的整数部分是______．
(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．
39．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
，即，
的整数部分是2，小数部分为．
（参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立；
②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立）
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
【专题强化】
一、单选题
40．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．
41．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
42．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列各种说法中，不正确的是（ ）．
A．是一个无理数B．的立方根是
C．只有正数才有算术平方根D．和都是正数13的平方根
43．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（ ）个
A．2B．3C．4D．5
44．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ）
A．B．C．5或D．4或
45．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（ ）
A．B．C．D．
46．（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．B．C．D．
47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（ ）
A． B． C． D．
48．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为( )
A．B．C．D．
49．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②；
③若是大于且小于的有理数，且，则；
④方程的解为．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
50．（24-25七年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
51．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
52．（24-25七年级下·全国·期中）满足的整数是 ．
53．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根 ．
54．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ．
三、解答题
55．（24-25七年级上·山东淄博·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3．
(1)求的值；
(2)若，请求出的值，并在数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹）
56．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
57．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④
(1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
(2)请在数轴上近似表示出以上四个实数．
(3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
________________________
58．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
59．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话：
小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？
老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即．
根据上述对话内容，解答下面的问题：
已知，其中是整数，且．
(1)________；________；
(2)求的值．
60．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
(1)的“共同体区间”为________；
(2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
(3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”．
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791