探索图形（练习 含解析-尖子生）2025-2026学年小学数学五年级下册同步分层 人教版

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（尖子生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形 一．选择题（共3小题） 1．（2024秋•阜宁县期末）鲁比克方块，又名魔方，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的，是最受欢迎的智力游戏之一。通常意义下的魔方，形状是正方体，由弹性的硬塑料制成，后来又发展出了更多类型的魔方。有一个正方体魔方，表面涂有颜色，若其中两面涂色的小方块有24个，则这个正方体魔方一面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．12 C．24 D．36 2．（2025秋•宿城区期中）一个大正方体木块，把它的外表都涂成红色，然后切割成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中两面涂色的有24块，那么一面涂色的有（　　）块。 A．8 B．12 C．24 D．54 3．（2025秋•嵩县期中）一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．12 B．24 C．27 D．64 二．填空题（共3小题） 4．（2025秋•铜山区期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成若干个棱长为1厘米的小正方体后，若2面涂色的有36个，则1面涂色的有（　 　 ）个，没有涂色的有（　 　 ）个。 5．（2025秋•徐州期中）把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相同的小正方体． 三面都涂色的小正方体有　 　 块． 两面涂色的小正方体有　 　 块． 一面涂色的小正方体有　 　 块． 没有涂色的小正方体有　 　 块． 6．（2025•北碚区）有一座信号塔，1个主信号灯和2层辅信号灯，第一层有4个辅灯，第二层有5个辅灯。信号灯闪烁时，要求相邻层的信号灯颜色不同（主信号灯与第一层辅灯相邻，第一层辅灯与第二层辅灯相邻），且同一层相邻信号灯颜色也不同，现有3种颜色可供选择。所有信号灯闪烁一次，不同的颜色组合方案共有 　 　 种。 三．判断题（共3小题） 7．（2025春•松山区期末）一个棱长是5厘米的正方体，把它的每个面都涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，没涂色的小正方体共有27个。 　 　 8．（2024秋•晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　 　 9．（2024•织金县）无论将几个小正方体，拼成一个大的正方体，将这个大正方体的六面都涂上颜色，三面被涂上颜色的小正方体，总是有8个。　 　 四．应用题（共1小题） 10．（2023春•宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？  （尖子生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 一．选择题（共3小题） 1．（2024秋•阜宁县期末）鲁比克方块，又名魔方，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的，是最受欢迎的智力游戏之一。通常意义下的魔方，形状是正方体，由弹性的硬塑料制成，后来又发展出了更多类型的魔方。有一个正方体魔方，表面涂有颜色，若其中两面涂色的小方块有24个，则这个正方体魔方一面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．12 C．24 D．36 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】C 【分析】两面涂色的小方块在棱的中间，所以每条棱的中间有24÷12＝2（个），一面涂色的小正方体在6个面的中间，共有2×2×6＝24（个）；据此解答即可。 【解答】解：24÷12＝2（个） 2×2×6＝24（个） 答：这个正方体魔方一面涂色的小正方体有24个。 故选：C。 【点评】理解染色问题的基本解法是解决本题的关键。 2．（2025秋•宿城区期中）一个大正方体木块，把它的外表都涂成红色，然后切割成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中两面涂色的有24块，那么一面涂色的有（　　）块。 A．8 B．12 C．24 D．54 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】C 【分析】根据立体图形的知识可知：每条棱上有24÷12＝2（块）两面涂色的，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，根据上面的结论，即可求得答案。 【解答】解：24÷12＝2（块） 2×2×6＝24（块） 答：一面涂色的有24块。 故选：C。 【点评】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。 3．（2025秋•嵩县期中）一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。其中两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．12 B．24 C．27 D．64 【考点】染色问题． 【专题】综合题；数据分析观念． 【答案】B 【分析】棱长12厘米的正方体，切割成棱长3厘米的小正方体，则每条棱上有（12÷3）个小正方体，每条棱上有（12÷3﹣2）个两面涂色的小正方体，由此解答本题。 【解答】解：（12÷3﹣2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 答：两面涂色的小正方体有24个。 故选：B。 【点评】本题考查的是染色问题的应用。 二．填空题（共3小题） 4．（2025秋•铜山区期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成若干个棱长为1厘米的小正方体后，若2面涂色的有36个，则1面涂色的有（　54　 ）个，没有涂色的有（　27　 ）个。 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】54；27。 【分析】2面涂色的小正方体在每条棱除两端顶点外的位置，正方体有12条棱，已知2面涂色的有36个，那么每条棱上2面涂色的小正方体有36÷12＝3（个），再加上两端的顶点处的2个小正方体，则每条棱上小正方体的总个数是3+2＝5（个）。1面涂色的小正方体在每个面除棱外的位置，每个面上1面涂色的小正方体有（5﹣2）×（5﹣2）＝9（个），正方体有6个面，则1面涂色的小正方体总个数是9×6＝54（个）。没有涂色的小正方体在大正方体的内部，组成一个比大正方体棱长少2的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出没有涂色的小正方体的个数。 【解答】解：根据分析可得： 大正方体每条棱上有小正方体： 36÷12+2 ＝3+2 ＝5（个） 1面涂色的有： （5﹣2）×（5﹣2）×6 ＝3×3×6 ＝54（个） 没有涂色的有： （5﹣2）×（5﹣2）×（5﹣2） ＝3×3×3 ＝27（个） 答：1面涂色的有54个，没有涂色的有27个。 故答案为：54；27。 【点评】本题考查正方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于8个顶点处；两面涂色的小正方体位于棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于每个面的中间（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在内部。 5．（2025秋•徐州期中）把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相同的小正方体． 三面都涂色的小正方体有　8　 块． 两面涂色的小正方体有　24　 块． 一面涂色的小正方体有　24　 块． 没有涂色的小正方体有　8　 块． 【考点】染色问题． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案． 【解答】解：因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体； 所以三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个． 两面涂色的有：（4﹣2）×12＝2×12＝24（个）， 一面涂色的有：（4﹣2）×（4﹣2）×6， ＝2×2×6， ＝24（个）， 没有涂色的有：64﹣24﹣24﹣8＝8（个） 答：三面涂色的小正方体有8个；两面涂色的小正方体有24个；一面涂色的小正方体有24个；没有涂色的小正方体有8个． 故答案为：8，24，24，8． 【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用． 6．（2025•北碚区）有一座信号塔，1个主信号灯和2层辅信号灯，第一层有4个辅灯，第二层有5个辅灯。信号灯闪烁时，要求相邻层的信号灯颜色不同（主信号灯与第一层辅灯相邻，第一层辅灯与第二层辅灯相邻），且同一层相邻信号灯颜色也不同，现有3种颜色可供选择。所有信号灯闪烁一次，不同的颜色组合方案共有 　96　 种。 【考点】染色问题． 【专题】综合题；数据分析观念． 【答案】96。 【分析】主信号灯颜色有3种选择，第一层4个辅灯，每个不能与主灯同色，则有2种颜色可选，相邻不同色，直线排列数是（2×1×1×1）种，第二层5个辅灯，有（8×2）种，由此解答本题。 【解答】解：3×（2×1×1×1）×（8×2） ＝3×2×16 ＝96（种） 答：不同的颜色组合方案共有96种。 故答案为：96。 【点评】本题考查的是染色问题的应用。 三．判断题（共3小题） 7．（2025春•松山区期末）一个棱长是5厘米的正方体，把它的每个面都涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，没涂色的小正方体共有27个。 　√　 【考点】染色问题． 【专题】应用意识． 【答案】√。 【分析】没有涂色的小正方体在内部，求出一面涂色、两面涂色、三面涂色的个数，然后用小正方体总个数减去一面涂色、两面涂色、三面涂色的个数即是没有涂色的个数，据此解答。 【解答】解：5×5×5﹣8﹣（5﹣2）×12﹣（5﹣2）×（5﹣2）×6 ＝125﹣8﹣36﹣54 ＝125﹣98 ＝27（个） 即没涂色的小正方体共有27个，原说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了染色问题的应用。 8．（2024秋•晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　×　 【考点】染色问题． 【专题】几何直观；推理能力． 【答案】× 【分析】一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，切成同样大的小正方体，共切成了53个，即125个。位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5﹣2）个小正方体，据此解答即可。 【解答】解：如图 （5﹣2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 所以两面涂色的小正方体有36个；故原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体两面涂色。 9．（2024•织金县）无论将几个小正方体，拼成一个大的正方体，将这个大正方体的六面都涂上颜色，三面被涂上颜色的小正方体，总是有8个。　√　 【考点】染色问题． 【专题】综合判断题；数据分析观念． 【答案】√。 【分析】三面被涂上颜色的小正方体在大正方体的顶点位置，由此解答本题。 【解答】解：三面被涂上颜色的小正方体在大正方体的顶点位置，正方体有8个顶点，所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查的是染色问题的应用。 四．应用题（共1小题） 10．（2023春•宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？ 【考点】染色问题． 【专题】空间观念． 【答案】125立方厘米。 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12+2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。 【解答】解：36÷12+2 ＝3+2 ＝5（个） 1×5＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 答：原来大正方体的体积是125立方厘米。 【点评】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。  考点卡片 1．染色问题 【知识点归纳】 这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法． 染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点． 两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12 一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6 0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2） 长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算． 题号123答案CCB