探索图形（练习 含解析-中等生）2025-2026学年小学数学五年级下册同步分层 人教版

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（中等生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形 一．选择题（共3小题） 1．（2025春•黄石期末）把一个表面涂色的正方体每条棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．60 C．36 D．24 2．（2025秋•盐城期中）把一个正方体表面涂色之后，把每条棱平均分成5份，切成了若干个小正方体，这些小正方体中，两面涂色的有（　　）个。 A．36 B．8 C．54 D．48 3．（2025秋•汝阳县期中）如图正方体是由125个一样的小正方体堆积而成的，把它的表面涂上红色，小正方体没有涂色的有（　　）个。 A．8 B．27 C．54 二．填空题（共3小题） 4．（2025秋•盐都区期中）把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成若干个大小相等的正方体。如果两面是红色的小正方体有36个，那么一面是红色的小正方体有 　 　 个。 5．（2025秋•鼓楼区校级期中）一个表面涂有红色的正方体棱长4分米，把它切成棱长为1分米的小正方体，其中2面涂色的有 　 　 个，1面也不涂色的有 　 　 个。 6．（2025秋•姜堰区期中）一个正方体表面涂满了红色，把每条棱平均分成5份，切成125个小正方体，其中一面涂色的有　 　 个，没有涂色的有　 　 个。 三．判断题（共3小题） 7．（2025春•临潼区期末）一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。（ 　 　 ） 8．（2022春•沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。 　 　 9．（2019春•隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．　 　 四．应用题（共1小题） 10．（2022•沙坪坝区校级模拟）有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 　 　 行，从左到右的第 　 　 列。  （中等生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 一．选择题（共3小题） 1．（2025春•黄石期末）把一个表面涂色的正方体每条棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有（　　）个。 A．8 B．60 C．36 D．24 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】C 【分析】两面涂色的小正方体位于正方体的每条棱上，除去两端的两个，每条棱分成5份，中间有5﹣2＝3个；正方体有12条棱，因此总数为3×12＝36个。 【解答】解：（5﹣2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 答：两面涂色的小正方体有36个。 故选：C。 【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。 2．（2025秋•盐城期中）把一个正方体表面涂色之后，把每条棱平均分成5份，切成了若干个小正方体，这些小正方体中，两面涂色的有（　　）个。 A．36 B．8 C．54 D．48 【考点】染色问题． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】A 【分析】根据题意，把一个正方体表面涂色之后，切成了若干个小正方体。那么这些小正方体可以分成4类：三面涂色的小正方体，在正方体的顶点上；两面涂色的小正方体，在每条棱的中间；一面涂色的小正方体，在每个面的中间；没有涂色的小正方体，在正方体的内部。分析正方体棱长上的小正方体分布情况为：每条棱上有5个小正方体，外边的两个是在顶点上，是三面涂色的小正方体，中间的三个是两面涂色的小正方体。所以，每条棱上有3个两面涂色的小正方体，正方体有12条棱。 【解答】解：12×（5﹣2） ＝12×3 ＝36（个） 答：两面涂色的有36个。 故选：A。 【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。 3．（2025秋•汝阳县期中）如图正方体是由125个一样的小正方体堆积而成的，把它的表面涂上红色，小正方体没有涂色的有（　　）个。 A．8 B．27 C．54 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】B 【分析】根据正方体表面涂色的特点，没有涂色的小正方体位于大正方体内部，先确定大正方体棱长上小正方体的个数，再用“大正方体棱长上小正方体的个数﹣2”得到内部未涂色部分的棱长（小正方体个数），再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出没有涂色的小正方体的个数。 【解答】解：5﹣2＝3（个） 3×3×3＝27（个） 答：小正方体没有涂色的有27个。 故选：B。 【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。 二．填空题（共3小题） 4．（2025秋•盐都区期中）把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成若干个大小相等的正方体。如果两面是红色的小正方体有36个，那么一面是红色的小正方体有 　54　 个。 【考点】染色问题． 【专题】压轴题；空间观念． 【答案】54。 【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在12条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部；据此解答即可。 【解答】解：36÷12＝3（个） 3×3×6＝54（个） 答：一面是红色的小正方体有54个。 故答案为：54。 【点评】解答此题的关键是明白大正方体什么位置的三涂色，什么位置的两面涂色，什么位置的一面涂色，什么位置的没有涂色。 5．（2025秋•鼓楼区校级期中）一个表面涂有红色的正方体棱长4分米，把它切成棱长为1分米的小正方体，其中2面涂色的有 　24　 个，1面也不涂色的有 　8　 个。 【考点】染色问题． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】24；8。 【分析】大正方体棱长4分米，切成棱长1分米的小正方体，总共可切出4×4×4＝64（个）小正方体；涂色面规律：3面涂色：只在大正方体的8个顶点处（每个顶点1个）；2面涂色：只在大正方体的“棱上”，且不在顶点（顶点已算3面涂色）；1面涂色：只在大正方体的“面中心”，且不在棱上；1面也不涂色：只在大正方体的“内部”，不在任何表面。 【解答】解：2 面涂色的小正方体个数：12×2＝24（个）。 1面也不涂色的小正方体在大正方体“内部”，相当于一个“小正方体”，其棱长为： 大正方体棱长﹣2（去掉前后、左右、上下各 层表面），即4−2＝2（分米）； 内部小正方体总数（1面不涂色）：2×2×2＝8（个）。 答：2面涂色的有24个，1 面也不涂色的有8个。 故答案为：24；8。 【点评】本题关键是掌握“正方体切割后涂色面的位置规律”。 6．（2025秋•姜堰区期中）一个正方体表面涂满了红色，把每条棱平均分成5份，切成125个小正方体，其中一面涂色的有　54　 个，没有涂色的有　27　 个。 【考点】染色问题． 【专题】应用意识． 【答案】54，27。 【分析】正方体每条棱被平均分成5份，因此被切割成5×5×5＝125（个）小正方体。一面涂色的小正方体位于每个面的中心区域（不包括棱和角）；每个面有（5﹣2）×（5﹣2）＝3×3＝9（个）一面涂色的小正方体，立方体有6个面，因此有6×9＝54（个）。没有涂色的小正方体位于立方体的内部核心（不包括任何表面），内部是一个立方体，没有涂色的有（5﹣2）×（5﹣2）×（5﹣2）＝3×3×3＝27（个），据此解答。 【解答】解：一面涂色的小正方体在每个面的中间，每个面上有（5﹣2）×（5﹣2）＝9（个），则6个面共有：9×6＝54（个）； 没有涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×（5﹣2） ＝3×3×3 ＝27（个）。 答：其中一面涂色的有54个，没有涂色的有27个。 故答案为：54，27。 【点评】本题考查正方体表面涂色的规律，考查学生的观察、推理和理解能力。 三．判断题（共3小题） 7．（2025春•临潼区期末）一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。（ 　√　 ） 【考点】染色问题． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】√。 【分析】如果一个大的正方体每条棱上有n个（n≥3）小正方体，则两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n﹣2）个，共有（n﹣2）×12个。已知两面涂色的小正方体有24个，据此列出方程，求出大正方体每条棱上小正方体的个数，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体的体积。 【解答】解：设大正方体每条棱上有n个小正方体。 （n﹣2）×12＝24 n﹣2＝2 n＝4 正方体的体积：4×4×4＝64（立方厘米） 这个正方体的体积是64立方厘米，所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。 8．（2022春•沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。 　√　 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算；空间观念． 【答案】√ 【分析】因为有27个小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为一面有颜色的在每个面的中间；据此解答即可。 【解答】解：27＝3×3×3 （3﹣2）×6 ＝1×6 ＝6（个） 所以一面涂色的小正方体有6个，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有六个面，每个面都是完全一样的正方形。 9．（2019春•隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．　√　 【考点】染色问题． 【专题】立体图形的认识与计算． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案． 【解答】解：一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体在8个顶点上， 所以共有8个， 所以原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用． 四．应用题（共1小题） 10．（2022•沙坪坝区校级模拟）有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 　501　 行，从左到右的第 　500　 列。 【考点】染色问题． 【专题】推理能力；模型思想． 【答案】501，500。 【分析】第1圈涂完，止于2行1列，即（2，1 ）；第2圈涂完，止于3行2列，即（3，2）；……第k圈涂完，止于k+1行k列，即（ k+1，k）。横2000格，竖1000格，需要1000：2＝500（圈），涂完。所以，止于501行500列。 【解答】解：顺时针涂完第1圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第2行第2列的方格。涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色。最后一圈从500行500列开始，到501行500列结束.那么最后被涂色的就是第501行，第500列。 故答案为：501，500。 【点评】一圈涂上下两行，所以最后涂色的方格位于第501行。当涂到这一行时，左边已经涂完499列，所以最后涂色的方格位于第500列。  考点卡片 1．染色问题 【知识点归纳】 这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法． 染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点． 两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12 一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6 0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2） 长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算． 题号123答案CAB