华东师大版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的解法优质学案及答案

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▉题型1 二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
1．下列方程组中，解是x=−2y=−1的是（ ）
A．x+y=−3x−2y=1B．2x=yx+y=−3
C．x+y=−3x−y=−1D．x+y=03x−y=5
【答案】C
【解答】解：A．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝﹣3中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝﹣3，左边＝右边，
把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x﹣2y＝1中，左边＝﹣2+2＝0，右边＝﹣3，左边≠右边，故选项A不符合题意；
B．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程2x＝y中，左边＝2×（﹣2）＝﹣4，右边＝﹣1，左边≠右边，故选项B不符合题意；
C．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝﹣3中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝﹣3，左边＝右边，
把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x﹣y＝﹣1中，左边＝﹣2+1＝﹣1，右边＝﹣1，左边＝右边，故选项C符合题意；
D．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝0中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝0，左边≠右边，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．方程组4x−3y=k2x+3y=5的解中x与y的值相等，则k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：将y＝x代入方程组4x−3y=k2x+3y=5，得x=k5x=5，
解得：x=1k=1，
故选：A．
3．已知x，y满足方程组x+6y=123x−2y=8，则x+y的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
【答案】C
【解答】解：x+6y=12①3x−2y=8②，
①+②得：4x+4y＝20，
则x+y＝5，
故选：C．
4．若关于x，y的二元一次方程组x+y=2①A=0②的解为x=1y=1，则方程②可以是 x﹣y＝0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】x﹣y＝0（答案不唯一）．
【解答】解：∵x=1y=1，
∴x﹣y＝0，
故答案为：x﹣y＝0（答案不唯一）．
5．写出一个解为x=1y=2的二元一次方程组 x+y=3x−y=−1．（答案不唯一） ．
【答案】x+y=3x−y=−1．（答案不唯一）
【解答】解：由1+2＝3，1﹣2＝﹣1．列出方程组得x+y=3x−y=−1．
故答案为：x+y=3x−y=−1．（答案不唯一）．
6．已知关于x，y的两个方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解相同，则a﹣3b＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解相同，
∴方程组2x+3y=83x−4y=−5的解是方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解，
解方程组2x+3y=83x−4y=−5得x=1y=2，
将x=1y=2代入ax+by＝﹣1和bx﹣ay＝﹣8，得a+2b=−1①b−2a=−8②，
①+②得：3b﹣a＝﹣9，
∴a﹣3b＝9，
故答案为：9．
7．请你写出一个解为x=2y=−1的二元一次方程组： x+y=1x−y=3（答案不唯一） ．
【答案】x+y=1x−y=3（答案不唯一）．
【解答】解：解为x=2y=−1的二元一次方程组可以是x+y=1x−y=3（答案不唯一），
故答案为：x+y=1x−y=3（答案不唯一）．
8．在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=−3y=1，乙看错了方程组中的b，得到的解是x=5y=4．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将x=−3y=1代入②得b＝﹣10，
将x=5y=4代入①得a＝﹣1；
（2）原方程组为−x+5y=15①4x+10y=−2②，
①×2﹣②得：﹣6x＝32，
解得：x=−163，
①×4+②得：30y＝58，
解得：y=2915，
即原方程组的解为：x=−163y=2915．
9．已知方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93ax+4by=18有相同的解，求a、b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：先解方程组
4x−y=53x+y=9，
解得：x=2y=3，
将x＝2、y＝3代入另两个方程，
得方程组：2a+3b=−16a+12b=18，
解得：a=−11b=7．
10．已知关于x，y的方程组2x+3y=k3x−4y=k+11的解满足方程5x﹣y＝3，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x+3y=k①3x−4y=k+11②，
①+②得：5x﹣y＝2k+11，
代入5x﹣y＝3中，得：2k+11＝3，
解得：k＝﹣4．
11．解关于x，y的方程组ax+by=93x−cy=−2时，甲正确地解出x=2y=4，乙因为把c抄错了，误解为x=4y=−1，求a，b，c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x=2y=4代入方程组得：2a+4b=96−4c=−2，
解得：c＝2，
把x=4y=−1代入方程组中第一个方程得：4a﹣b＝9，
联立得：2a+4b=94a−b=9，
解得：a=2.5b=1，
则a＝2.5，b＝1，c＝2．
▉题型2 解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
12．二元一次方程组x+y=8，2y−3x=6的解是（ ）
A．x=1，y=3B．x=6，y=2C．x=2，y=6D．x=3，y=5
【答案】C
【解答】解：x+y=8①2y−3x=6②，
①×3，得3x+3y＝24③，
②+③，得5y＝30，
解得：y＝6，
把y＝6代入①，得x+6＝8，
解得：x＝2，
∴方程组的解为x=2y=6．
故选：C．
13．关于x、y的二元一次方程组x+y=32x−y=5，用代入法消去x后，得到的方程是（ ）
A．6+2y﹣y＝5B．6﹣2y﹣y＝5C．﹣6+2y﹣y＝5D．﹣6﹣2y﹣y＝5
【答案】B
【解答】解：解方程组：x+y=3①2x−y=5②，
由①式解出x，得：x＝3﹣y③，
将③代入②式中，得2（3﹣y）﹣y＝5，
展开并整理：6﹣2y﹣y＝5，
因此，消去x后的方程为：6﹣2y﹣y＝5，所以选项A、C、D错误，选项B正确．
故选：B．
14．方程组6x+2y=4①3x−3y=−6②，下列步骤可以消去未知数x的是（ ）
A．①×2+②×2B．①×3﹣②×2C．①﹣②×2D．①+②×2
【答案】C
【解答】解：A、①×2+②×2，得
9x﹣y＝﹣2，
变形后不能消元，故不符合题意；
B、①×3+②×2，得
x+y＝12，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、①﹣②×2，得
8y＝16，
可以消去x，故符合题意．
D、①+②×2，得
3x﹣y＝﹣2，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、①﹣②×2，得
8y＝16，
可以消去x，故符合题意．
故选：C．
15．二元一次方程组x+y=4x−2y=1的解是（ ）
A．x=1y=3B．x=3y=1C．x=1y=0D．x=2y=12
【答案】B
【解答】解：方程组x+y=4①x−2y=1②，
①﹣②得：3y＝3，
解得：y＝1，
把y＝1代入①得：x+1＝4，
解得：x＝3，
则方程组的解为x=3y=1．
故选：B．
16．满足（x+y）2+|x﹣y﹣2|＝0的x，y的值分别为（ ）
A．﹣1，1B．1，1C．1，﹣1D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵（x+y）2+|x﹣y﹣2|＝0，（x+y）2≥0，|x﹣y﹣2|≥0，
∴x+y=0x−y−2=0，
解得：x=1y=−1，
故选：C．
17．二元一次方程组2x−y=4x+y=8，最适合用下列哪种消元法求解（ ）
A．代入消元法
B．加减消元法
C．代入消元法或加减消元法
D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵二元一次方程组2x−y=4x+y=8两个式子分别有﹣y，y，
∴运用加减消元进行消y，能快速求出x的值
故选：B．
18．已知关于x、y的方程组3x+y=mx+3y=3，且8x+8y＝﹣20，x﹣y＝4n，则|2m﹣4|+|5+n|的值为 33 ．
【答案】33．
【解答】解：3x+y=m①x+3y=3②，
①+②得4x+4y＝m+3，
∴8x+8y＝2（4x+4y）＝2（m+3）＝﹣20，
解得：m＝﹣13，
①﹣②得2x﹣2y＝m﹣3，
∴2（x﹣y）＝2×4n＝8n＝m﹣3＝﹣16，
解得：n＝﹣2，
∴|2m﹣4|+|5+n|＝|2×（﹣13）﹣4|+|5+（﹣2）|＝33．
故答案为：33．
19．解下列方程组：
（1）y=2x−1x+2y=−7；
（2）4x+y=153x−2y=3．
【答案】（1）x=−1y=−3；
（2）x=3y=3．
【解答】解：（1）y=2x−1①x+2y=−7②，
把①代入②，得x+2（2x﹣1）＝﹣7，
去括号，得x+4x﹣2＝﹣7，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴方程组的解为x=−1y=−3；
（2）4x+y=15①3x−2y=3②，
①×2，得8x+2y＝30③，
②+③，得11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得3×3﹣2y＝3，
解得：y＝3，
∴方程组的解为x=3y=3．
20．解下列方程组：
（1）x−2y=4，4x+3y=5；；
（2）2x+y=13，x−16−2−y3=1.．
【答案】（1）x=2y=−1；
（2）x=5y=3．
【解答】解：（1）x−2y=4①4x+3y=5②，
①×4，得4x﹣8y＝16③，
③﹣②，得﹣11y＝11，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得x+2＝4，
解得：x＝2，
∴方程组的解为x=2y=−1；
（2）2x+y=13x−16−2−y3=1，
整理，得2x+y=13①x+2y=11②，
②×2，得2x+4y＝22③，
③﹣①，得3y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①，得2x+3＝13，
解得：x＝5，
∴方程组的解为x=5y=3．
21．解方程组：
（1）3x−4y=2x+4y=6；
（2）x2+y3=23x+y=9．
【答案】（1）x=2y=1；（2）x=2y=3．
【解答】解：（1）3x−4y=2①x+4y=6②，
由①+②得，4x＝8，解得x＝2，
将x＝2代入②得2+4y＝6，解得y＝1，
∴该方程组的解为x=2y=1；
（2）x2+y3=23x+y=9
方程整理为：3x+2y=12①3x+y=9②，
由①﹣②得，y＝3，
将y＝3代入②得3x+3＝9，解得x＝2，
∴该方程组的解为x=2y=3．
22．已知：方程组2x+3y=k4x−3y=5，其中x与y的值相等，求k的值．
【答案】25．
【解答】解：2x+3y=k①4x−3y=5②，
∵x与y的值相等，
∴x＝y，
把x＝y代入②得4y﹣3y＝5，解得y＝5，
∴x＝y＝5，
把x＝y＝5代入①得：k＝2×5+3×5＝25．
23．阅读探索
（1）知识积累
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6．
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为x+2y=62x+y=6，
解方程组，得x=2y=2．
即a−1=2b+2=2，
所以有a=3b=0．
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高运用上述方法解方程组：(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5．
【答案】a=9b=−5．
【解答】解：设a3−1=m，b5+2=n，则原方程组可变为m+2n=42m+n=5，
解得m=2n=1，
∴a3−1=2，b5+2=1，
∴a=9b=−5．
24．已知|x+2y+3|+（2x+y）2＝0，求x和y的值．
【答案】x=1y=−2．
【解答】解：∵|x+2y+3|+（2x+y）2＝0，|x+2y+3|≥0，（2x+y）2≥0，
∴|x+2y+3|＝（2x+y）2＝0，
∴x+2y+3=02x+y=0，
解得x=1y=−2．
▉题型3 由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
25．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（ ）
A．2x+3=−3+4yx+2y+4y=2+3
B．2x+3+2=2−3+4y3+x+2y=2−3
C．2x+x+2y=2−3x+2y−3=2+4y
D．3+x+2y=2−32−3+4y=2x+x+2y+4y
【答案】A
【解答】解：根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组得：
2x+3=−3+4yx+2y+4y=2+3；
故选：A．
26．在一次体育模拟测试前，某班准备了若干块巧克力，若每位学生分3块，有7人未分到巧克力；若每位学生分2块，还剩下26块．问该班有多少名学生？准备了多少块巧克力？设该班有x名学生，准备了y块巧克力，则根据题意，可列出方程组（ ）
A．3(x−7)=y2x−26=yB．3(x−7)=y2x+26=y
C．3(x+7)=y2x−26=yD．3(x+7)=y2x+26=y
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
3(x−7)=y2x+26=y，
故选：B．
27．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A．x+y=136x=3yB．x+y=1363x=2y
C．x+y=1362x=3yD．x+y=1363x=y
【答案】C
【解答】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，由题意可得，
x+y=1362x=3y，故C正确．
故选：C．
28．第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ）
A．x+y=354x+4y=94B．x+2y=352x+4y=94
C．x+y=354x+2y=94D．x+y=352x+4y=94
【答案】D
【解答】解：设有鸡、兔各为x，y只，
根据题意，可列方程组为x+y=352x+4y=94，
故选：D．
29．《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有多少两？（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语．）设有x个人，y两银子，根据题意可以列方程组为（ ）
A．4x+7=y9x−8=yB．7x+4=y8x−9=y
C．7x−4=y9x+8=yD．7x+4=y9x−8=y
【答案】D
【解答】解：根据题意可设有x个人，y两银子，列方程组为：
y=7x+4y=9x−8．
故选：D．
30．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x，y，那么下列求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A．x+y=180x=y−10B．x+y=180x=3y−10
C．x+y=180x=y+10D．3y=180x=3y−10
【答案】B
【解答】解：由图可得，∠1+∠2＝180°，则x+y＝180，
∵∠1比∠2的3倍少10°，
∴x＝3y﹣10，
∴可得方程组x+y=180x=3y−10，
故选：B．
31．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
【答案】（1）篮球每个90元，排球每个65元；
（2）选用套餐①购买更划算，理由见解析．
【解答】解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，
由题意可得y=x−252x+6y=570，
解方程组得x=90y=65，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
（2）若按照①套餐打折购买费用为：2（5×90+5×65）×0.8+4×90+2×65＝1730（元），
若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65＝2040（元），
又2040＞1999，
所以2040﹣200＝1840（元）．
而1840＞1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
题型1 二元一次方程组的解
题型2 解二元一次方程组
题型3 由实际问题抽象出二元一次方程组