华东师大版（2024）七年级下册（2024）实践与探究优质学案设计

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▉题型1 二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
1．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（ ）
A．12本，13本B．13本，12本C．15本，10本D．10本，15本
【答案】C
【解答】解：设购买《爱的教育》x本，《边城》y本，
由题意得：x+y=30−530x+25y=950−250，
解得：x=15y=10，
即购买《爱的教育》15本，《边城》10本，
故选：C．
2．如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．425cm2B．525cm2C．600cm2D．800cm2
【答案】B
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：x+10=3y2x=2y+40，
解得：x=35y=15，
则每块墙砖的截面面积是35×15＝525cm2，
故选：B．
3．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是40的大长方形，则每个小长方形的面积是 300 ．
【答案】300．
【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意列方程组得：
x+y=403x=2x+3y，
解得x=30y=10，
∴xy＝30×10＝300，
故答案为：300．
4．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 26 ．
【答案】26
【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：x+2y=32①2x+y=46②，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26．
故答案为：26．
5．小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米/时，而他在下坡路上的平均速度为12千米/时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：4.8千米/时＝80米/分，12千米/时＝200米/分，
设小明在上坡路上用了x分钟，在下坡路上用了y分钟，
由题意得：x+y=1680x+200y=1880，
解得：x=11y=5，
答：小明在上坡路上用了11分钟．
6．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设用x立方米木材生产桌面，
则用（12﹣x）立方米木材生产桌腿，
根据题意得：4×20x＝（12﹣x）×400，
解得：x＝10，
则12﹣x＝2，
答：应用10立方米木材生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
7．A，B两地相距80km，一艘轮船从A地出发，顺水航行4h到B地，而从B地出发逆水航行5h到达A地，求船在静水中的速度和水流速度．
【答案】船在静水中的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时．
【解答】解：设水流速度为x千米/小时，船在静水中的速度为y千米/小时，
由题意得：4(x+y)=805(y−x)=80，
解得：x=2y=18，
答：船在静水中的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时．
8．一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？
【答案】原来的两位数为42．
【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，x−y=210x+y+10y+x=66，
解得：x=4y=2，
答：原来的两位数为42．
9．小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【答案】中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．
【解答】解：设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，
根据题意得：12x+20y=14412y+20x=112，
解得：x=2y=6．
答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．
10．2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套．求所购进的玩偶和钥匙扣的个数．
【答案】购进50个玩偶，100个钥匙扣．
【解答】解：设购进x个玩偶，y个钥匙扣，
∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，
∴2x＝y；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，
∴60x+20y＝5000．
∴根据题意可列出方程组，
2x=y60x+20y=5000．
解得x=50y=100，
∴购进50个玩偶，100个钥匙扣．
11．一批货物要运往A地，货主准备租用运输公司的甲、乙两种货车，已知过去他曾经两次租用过这两种货车．第一次：甲种货车2辆，乙种货车3辆，共运货物15.5吨，第二次：甲种货车5辆，乙种货车6辆，共运货物35吨．现在租用甲种货车3辆，乙种货车5辆，一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费25元计算，货主应付运费多少元？
【答案】612.5元．
【解答】解：设甲种汽车每次可运货x吨，乙种汽车每次可运货y吨，根据题意可列方程组得：
2x+3y=15.55x+6y=35，
解得x=4y=2.5，
∴所以货主这批货物共有3×4+5×2.5＝24.5（吨），
货主应付运费24.5×25＝612.5（元），
答：货主应付运费612.5元．
12．“一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．”为了让同学们养成良好的节约习惯，学生会倡导的勤工俭学活动效果显著．每个班级把本班的废弃试卷、书本进行分类整理，每周把废品统一卖出，钱款作为班级日常开支．上周七年级一、二、三班的同学通过勤工俭学活动“收入斐然”：一班收入a元，二班收入比一班收入的2倍少80元，三班收入比二班收入的一半多100元
（1）用含a的代数式表示三个班的上周总收入．
（2）当a＝40时，求三个班的总收入．
【答案】（1）（4a﹣20）元；
（2）140元．
【解答】解：（1）三个班的总收入是：
a+2a−80+12(2a−80)+100
＝a+2a﹣80+a﹣40+100
＝（4a﹣20）元；
（2）当a＝40时，三个班的总收入是：
原式＝4×40﹣20＝140（元）．
13．某市出租车的计费标准是：起步价所包含的路程为0～3千米，超过3千米的部分每行1千米再另计费（不足1千米的以1千米的价格收费）．
小明说：“我乘出租车从市政府到汽车站走了5千米，付车费10元．”
小亮说：“我乘出租车从东城区到西城区走了20千米，付车费32.5元．”
根据以上信息解答下列问题：
（1）出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米收费多少元？
（2）小王乘出租车从汽车站到海滨度假区走了10.2千米，应付车费多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元，
依题意得：x+(5−3)y=10x+(20−3)y=32.5，
解得：x=7y=1.5．
答：出租车的起步价是7元，超过3千米后每千米收费1.5元．
（2）根据题意可知：10.2千米应按11千米收费，
∴应付车费为7+（11﹣3）×1.5＝19（元）．
答：小王乘出租车从汽车站到海滨度假区走了10.2千米，应付车费19元．
14．为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：
（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？
（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，
依题意，得：x+y=3002x+8y=1200，
解得：x=200y=100．
答：小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩200个，N95口罩100个；
（2）200×（2﹣0.8）+100×（8﹣4）＝640（元），
答：该超市共获利润640元．
15．某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）这两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由为：
设两校人数之和为a，
若a＞200，则a＝18000÷75＝240；
若100＜a≤200，则a＝18000÷85＝2111317＞200，不合题意，
则这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．
（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则
①当100＜x≤200时，得x+y=24085x+90y=20800.
解得x=160y=80（6分）
②当x＞200时，得x+y=24075x+90y=20800
解得x=5313y=18623不合题意，舍去．
答：甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人．
16．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】（1）﹣1，5；
（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
①﹣②得x﹣y＝﹣1，
①+②得3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
根据题意，得：20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，
①×2﹣②，得：x+y+z＝6，
∴5x+5y+5z＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
17．有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得
x+y=4810x+12y=520，
解得：x=28y=20．
答：篮球队有28支，排球队有20支．
18．为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，
由题意得，180x+150y=213180x+60y=150，
解得：x=0.6y=0.7，
则四月份电费为：160×0.6＝96（元），
五月份电费为：180×0.6+230×0.7＝108+161＝269（元）．
答：这位居民四月份的电费为96元，五月份的电费为269元．
19．某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，
根据题意，得x+y=5636y=2×24x，
解得x=24y=32
答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．
20．某中学共有3个一样规模的大餐厅和2个一样规模的小餐厅，经过测试同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供3000名学生就餐；同时开放1个大餐厅，1个小餐厅，可供1700名学生就餐．
（1）请问1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐．
（2）如果3个大餐厅和2个小餐厅全部开放，那么能否供全校4500名学生就餐？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，
依题意，得：2x+y=3000x+y=1700，
解得：x=1300y=400．
答：1个大餐厅可供1300名学生就餐，1个小餐厅可供400名学生就餐．
（2）∵3×1300+2×400＝4700（名），4700＞4500，
∴如果3个大餐厅和2个小餐厅全部开放，那么能满足全校4500名学生的就餐要求．
21．根据所给信息，分别求出每只小猫和小狗的价格．
买一共要70元，
买一共要50元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元，由题意得x+2y=702x+y=50．
解之得x=10y=30．
答：每只小猫为10元，每只小狗为30元．
22．某些风景旅游景点将于5月1日前后相继开放，为了更多地吸引游客前去游览，某景点给出的团体门票票价如下：
今有甲、已两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元
（1）你判断乙团的人数是否也少于50人？
（2）求甲、乙两个旅行团各有多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于50人，
所以可得甲乙分别购票所需的钱数小于1300，
又∵分别购票，两旅行团共计应付门票费1392元，
∴可得出乙团的人数大于50人；
（2）设甲团人数为x人，乙团人数为y人，由题意得：
①当甲乙两团总人数在51～100人时，
13x+11y=139211(x+y)=1080，
解得：x＝156（不合题意舍去），
②当甲乙两团总人数在100人以上时，
13x+11y=13929(x+y)=1080，
解得：x=36y=84，
答：甲、乙两个旅行团各有36人、84人．题型1 二元一次方程组的应用
书名
数量/本
单价/（元/本）
金额/元
《假如给我三天光明》
5
50
250
《爱的教育》
■
30
■
《边城》
■
25
■
合计
30
950
阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元．
不对呀，是144元．
啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．
类别/单价
成本价（元/个）
销售价（元/个）
普通医用口罩
0.8
2
N95口罩
4
8
人数m
0＜m≤100
100＜m≤200
m＞200
收费标准（元/人）
90
85
75
购票人数
1﹣50
51﹣100
100人以上
每人门票（元）
13元
11元
9元