华东师大版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组和它的解精品学案设计

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▉题型1 二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝5B．x+xy＝﹣2C．y+1x=2D．x+2y＝4
【答案】D
【解答】解：根据二元一次方程的定义逐项分析判断如下：
A．2x﹣1＝5，不是二元一次方程，不符合题意；
B．x+xy＝﹣2，不是二元一次方程，不符合题意；
C． y+1x=2，不是二元一次方程，不符合题意；
D．x+2y＝4，是二元一次方程，符合题意；
故选：D．
2．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A．2x+yB．x﹣3y＝﹣15C．xy﹣2＝2D．2x−y=0
【答案】B
【解答】解：A．不是方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故本选项符合题意；
C．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．若方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，则n的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵方程2x+yn﹣1＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣1＝1，
解得：n＝2，
故选：C．
4．已知关于x，y的方程2x2m﹣1﹣3y+m＝0是二元一次方程，则m的值是（ ）
A．12B．0C．﹣1D．1
【答案】D
【解答】解：根据二元一次方程的定义，得：
2m﹣1＝1，
解得：m＝1，
故选：D．
5．已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵（a+2）x|a|﹣1+y＝5是一个二元一次方程，
∴|a|−1=1a+2≠0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
6．若(a−3)xb+ya2−8=0是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值 ﹣2 ．
【答案】﹣2
【解答】解：由题意得，a﹣3≠0，b＝1，a2﹣8＝1，
解得a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
7．若x3m﹣3﹣2yn﹣1＝5是二元一次方程，则m＝ 43 ，n＝ 2 ．
【答案】43；2
【解答】解：因为x3m﹣3﹣2yn﹣1＝5是二元一次方程，
则3m﹣3＝1，且n﹣1＝1，
∴m=43，n＝2．
故答案为：43，2．
▉题型2 二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=5xy=6B．x−2y=41x+1y=5
C．x−y=1x+3y=4D．2x+y=3x+z=4
【答案】C
【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误；
B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义；
D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误．
故选：C．
9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x−z=1y=2B．x=−1y−2x=2
C．x+y=1xy=6D．x−y=0y2=1
【答案】B
【解答】解：A、含有三个未知数，故此选项错误；
B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
C、未知数的次数是2，故此选项错误；
D、未知数的次数是2，故此选项错误；
故选：B．
10．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=42x+3y=7B．2a−3b=115b−4c=6
C．x2=9y=2xD．x+y=8x2−y=4
【答案】A
【解答】解：根据定义可以判断
A、满足要求；
B、有a，b，c，是三元方程；
C、有x2，是二次方程；
D、有x2，是二次方程．
故选：A．
11．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=1y+z=2B．xy=2x+y=1
C．x+y=5y=2D．x−1y=2x+2y=1
【答案】C
【解答】解：A．∵方程组x+y=1y+z=2含有三个未知数，
∴方程组x+y=1y+z=2不是二元一次方程组，选项A不符合题意；
B．∵方程组xy=2x+y=1中方程xy＝2是二次方程，
∴方程组xy=2x+y=1不是二元一次方程组，选项B不符合题意；
C．方程组x+y=5y=2是二元一次方程组，选项C符合题意；
D．∵方程组x−1y=2x+2y=1中方程x−1y=2不是整式方程，
∴方程组x−1y=2x+2y=1不是二元一次方程组，选项D不符合题意．
故选：C．
12．若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程组，则m的值是（ ）
A．2B．2或﹣2C．﹣2D．0
【答案】D
【解答】解：∵（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝0，
故选：D．
▉题型3 二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
13．下列方程组中，解是x=−2y=−1的是（ ）
A．x+y=−3x−2y=1B．2x=yx+y=−3
C．x+y=−3x−y=−1D．x+y=03x−y=5
【答案】C
【解答】解：A．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝﹣3中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝﹣3，左边＝右边，
把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x﹣2y＝1中，左边＝﹣2+2＝0，右边＝﹣3，左边≠右边，故选项A不符合题意；
B．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程2x＝y中，左边＝2×（﹣2）＝﹣4，右边＝﹣1，左边≠右边，故选项B不符合题意；
C．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝﹣3中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝﹣3，左边＝右边，
把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x﹣y＝﹣1中，左边＝﹣2+1＝﹣1，右边＝﹣1，左边＝右边，故选项C符合题意；
D．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程x+y＝0中，左边＝﹣2﹣1＝﹣3，右边＝0，左边≠右边，故选项D不符合题意．
故选：C．
14．已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=7nx−my=1的解，则m+3n的值是（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【解答】解：根据题意，将x=2y=1代入mx+ny=7nx−my=1，得：2m+n=7①−m+2n=1②，
①+②，得：m+3n＝8，
故选：D．
15．方程组4x−3y=k2x+3y=5的解中x与y的值相等，则k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：将y＝x代入方程组4x−3y=k2x+3y=5，得x=k5x=5，
解得：x=1k=1，
故选：A．
16．已知x，y满足方程组x+6y=123x−2y=8，则x+y的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
【答案】C
【解答】解：x+6y=12①3x−2y=8②，
①+②得：4x+4y＝20，
则x+y＝5，
故选：C．
17．若关于x，y的二元一次方程组x+y=2①A=0②的解为x=1y=1，则方程②可以是 x﹣y＝0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】x﹣y＝0（答案不唯一）．
【解答】解：∵x=1y=1，
∴x﹣y＝0，
故答案为：x﹣y＝0（答案不唯一）．
18．写出一个解为x=1y=2的二元一次方程组 x+y=3x−y=−1．（答案不唯一） ．
【答案】x+y=3x−y=−1．（答案不唯一）
【解答】解：由1+2＝3，1﹣2＝﹣1．列出方程组得x+y=3x−y=−1．
故答案为：x+y=3x−y=−1．（答案不唯一）．
19．已知关于x，y的两个方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解相同，则a﹣3b＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解相同，
∴方程组2x+3y=83x−4y=−5的解是方程组2x+3y=8ax+by=−1和3x−4y=−5bx−ay=−8的解，
解方程组2x+3y=83x−4y=−5得x=1y=2，
将x=1y=2代入ax+by＝﹣1和bx﹣ay＝﹣8，得a+2b=−1①b−2a=−8②，
①+②得：3b﹣a＝﹣9，
∴a﹣3b＝9，
故答案为：9．
20．请你写出一个解为x=2y=−1的二元一次方程组： x+y=1x−y=3（答案不唯一） ．
【答案】x+y=1x−y=3（答案不唯一）．
【解答】解：解为x=2y=−1的二元一次方程组可以是x+y=1x−y=3（答案不唯一），
故答案为：x+y=1x−y=3（答案不唯一）．
21．写出一个以x=0y=5为解的二元一次方程组 x+y=5x+2y=10 （答案不唯一） ．
【答案】x+y=5x+2y=10 （答案不唯一）．
【解答】解：∵x=0y=5，
∴x+y＝5，x+2y＝10，
∴这个方程组可以是x+y=5x+2y=10，
故答案为：x+y=5x+2y=10 （答案不唯一）．
22．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组mx+2y=103x−2y=0，有整数解，则m的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：mx+2y=10①3x−2y=0②，
①+②得：（3+m）x＝10，
则x=103+m，
把x=103+m代入②：y=153+m，
当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数．
∴3+m＝±1或±5．
即m＝﹣2或﹣4或2或﹣8．
又∵m是正整数，
∴m＝2，
故答案为2．
23．在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=−3y=1，乙看错了方程组中的b，得到的解是x=5y=4．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将x=−3y=1代入②得b＝﹣10，
将x=5y=4代入①得a＝﹣1；
（2）原方程组为−x+5y=15①4x+10y=−2②，
①×2﹣②得：﹣6x＝32，
解得：x=−163，
①×4+②得：30y＝58，
解得：y=2915，
即原方程组的解为：x=−163y=2915．
24．已知方程组4x−y=5ax+by=−1和3x+y=93ax+4by=18有相同的解，求a、b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：先解方程组
4x−y=53x+y=9，
解得：x=2y=3，
将x＝2、y＝3代入另两个方程，
得方程组：2a+3b=−16a+12b=18，
解得：a=−11b=7．
25．已知关于x，y的方程组2x+3y=k3x−4y=k+11的解满足方程5x﹣y＝3，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x+3y=k①3x−4y=k+11②，
①+②得：5x﹣y＝2k+11，
代入5x﹣y＝3中，得：2k+11＝3，
解得：k＝﹣4．
26．解关于x，y的方程组ax+by=93x−cy=−2时，甲正确地解出x=2y=4，乙因为把c抄错了，误解为x=4y=−1，求a，b，c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x=2y=4代入方程组得：2a+4b=96−4c=−2，
解得：c＝2，
把x=4y=−1代入方程组中第一个方程得：4a﹣b＝9，
联立得：2a+4b=94a−b=9，
解得：a=2.5b=1，
则a＝2.5，b＝1，c＝2．
27．甲、乙两位同学一起解方程组ax+by=2cx−3y=−2，甲正确地解得x=1y=−1，乙仅因抄错了题中的c，解得x=2y=−6，求原方程组中a、b、c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x=1y=−1代入到原方程组中，得a−b=2c+3=−2可求得c＝﹣5，
乙仅因抄错了c而求得x=2y=−6，但它仍是方程ax+by＝2的解，
所以把x=2y=−6代入到ax+by＝2中得2a﹣6b＝2，即a﹣3b＝1．
把a﹣3b＝1与a﹣b＝2组成一个二元一次方程组a−b=2a−3b=1，
解得a=52b=12．
故a=52，b=12，c＝﹣5．
28．阅读理解题：
阅读例子：已知：关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=3，求关于x、y的方程组2a1x+b1y=3c12a2x+b2y=3c2的解．
解：方程组2a1x+b1y=3c12a2x+b2y=3c2可化为23a1x+13b1y=c123a2x+13b2y=c2
∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=3，
∴23x=213y=3
∴x=3y=9
∴方程组2a1x+b1y=3c12a2x+b2y=3c2的解是x=3y=9
通过对上面材料的认真阅读后，解方程组：
已知：关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，求关于x、y的方程组a1x+2b1y=3c1a2x+2b2y=3c2的解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程组a1x+2b1y=3c1a2x+2b2y=3c2可化为13a1x+23b1y=c113a2x+23b2y=c2，
∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，
∴13x=−123y=2，
∴x=−3y=3．
∴方程组a1x+2b1y=3c1a2x+2b2y=3c2的解是x=−3y=3．
题型1 二元一次方程的定义
题型2 二元一次方程组的定义
题型3 二元一次方程组的解