人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念教案设计，共6页。教案主要包含了创设活动，问题驱动，历史介绍，设计意图，随堂练习，基础辨析，分类判断，方程求解等内容，欢迎下载使用。

本节课选自人教A版必修第二册第七章“复数”的第一节“复数的概念”，是学生从实数系向复数系过渡的起始课。教材通过回顾数系扩充的历史，引出虚数单位i，建立复数的代数形式，并介绍复数的分类与相等条件。复数是中学数学的重要扩充，是连接代数、几何与物理的重要工具。本节课是复数学习的奠基课，为后续复数的四则运算、几何意义及应用打下基础。
学情分析
知识基础：学生已完整学习实数系（自然数、整数、有理数、无理数），熟悉实数运算与性质，能解简单方程，具备一定的代数推理能力。
认知特点：高中学生抽象思维逐步增强，但对“虚数”缺乏直观认识，容易产生畏难与怀疑心理。部分学生可能难以接受“平方为负”的数。
潜在困难：虚数单位i的理解与接受；复数实部与虚部的区分（特别是虚部是实数b而非bi）；复数分类的逻辑关系；复数不能比较大小。
教学目标
了解数系扩充的基本过程与思想，经历从实数到复数的扩充过程。
理解虚数单位i的规定与性质（i2=-1）。
掌握复数的代数形式z=a+bi，能准确指出实部与虚部。
理解向量共线的充要条件，并能初步应用。
掌握复数的分类（实数、虚数、纯虚数）及相互关系。
掌握复数相等的充要条件，并能用于求解方程。
重点难点
重点：复数的概念及其代数表示；复数的分类；复数相等的充要条件。
难点：虚数单位i的引入与理解；复数概念的形成与数系扩充思想的领会；复数虚部是实数b（而非bi）的理解；复数不能比较大小的理解。
学习目标
了解数系的扩充过程，理解复数引入的必然性，知道数系扩充的基本思想与原则，即在原有数系基础上“添加”新元素，定义新运算，保持原有运算律。
理解复数的基本概念，能叙述虚数单位的规定及其核心性质；能准确说出复数的代数表示形式，并能识别复数的实部与虚部；能对复数进行正确分类。
掌握复数相等的充要条件，并能进行简单应用。
教学过程
1、情境导入
【创设活动】引导学生回顾数系发展史（自然数→整数→有理数→实数），体会每次扩充都是为了解决新的数学问题（减不尽、除不尽、开方不尽）。
【问题驱动】提出方程x2+1=0在实数范围内无解，引发认知冲突。
【历史介绍】简述卡尔达诺、欧拉、高斯等数学家对复数的贡献，说明复数并非“虚构”，而是数学发展的必然。
【设计意图】建立新旧知识联系，让学生理解数系扩充的共性与必然性，为接受虚数做心理与认知铺垫。
2、新知探究
2.1虚数单位i
定义：引入新数i，满足i2=-1。
探究：计算i3,i4,i5,……，引导学生发现in的周期为4的规律。
2.2数系的扩充
把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法
对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
把实数b与i相乘，结果记作bi
把实数a与bi相加，结果记作a+bi
注意到所有实数以及i都可以写成a+bi a,b∈R的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
2.3复数的概念
定义：形如a+bia,b∈R的数称为复数。
明确复数的实部为a，虚部为b。
复数集：全体复数的集合叫做复数集，记作C，即C=a+bi|a,b∈R
定义：如果两个复数a+bi和c+di的实部与虚部分别相等，则这两个复数相等。强调复数若不全是实数，则不能比较大小。
2.4复数的分类
通过b=0（实数）、b≠0（虚数）、a=0且b≠0（纯虚数）进行分类。
用图示厘清复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系。
【随堂练习】
当实数m取什么值时，复数z=m+1+m-1i是下列数？
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
解：
（1）当m-1=0时，即m=1时，复数z是实数。
（2）当m-1≠0时，即m≠1时，复数z是虚数。
（3）当m+1=0且m-1≠0时，即m=-1时，复数z是纯虚数。
【设计意图】遵循概念形成逻辑，从单位到形式，从定义到性质，从表示到分类，层层递进，通过探究与强调突破理解难点。
3、讲练互动
【基础辨析】识别复数的实部与虚部。
1、请说出下列复数的实部和虚部：
-2+13i， 2+i， 22， -3i， i， 0
答案：
-2+13i的实部为-2，虚部为13；2+i的实部为2，虚部为1；22的实部为22 ，虚部为0；-3i的实部为0，虚部为-3；i的实部为0，虚部为-1；0的实部为0，虚部为0。
2、已知复数z=a2-2-bi的实部和虚部分别是2和3，则实数a,b的值
分别是a= ， b= 。
答案： a=±2,b=5
因为复数z=a2-2-bi的实部和虚部分别是2和3， 所以a2=2， -2-b=3，解得a=±2,b=5。
【分类判断】判断一组数是实数、虚数还是纯虚数，并说明理由。
3、指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？为什么？
2+7，0.618，27i，0，i，5i+8，3-92i，i1-3，2-2i
答案：2+7，0.618， 0，为实数，因为它们的虚部为0；27i，i， 5i+8，3-92i，i1-3，2-2i，为虚数，因为它们的虚部不为0；27i，i， i1-3，为纯虚数，因为它们的实部为0，虚部不为0。
4、当实数m为何值时，复数z=m2-m-6m+3+m2-2m-15i是实数、虚数和纯虚数？
答案：
当复数z=m2-m-6m+3+m2-2m-15i是实数时，则m2-2m-15=0，即m-5m+3=0，解得m=5或m=-3，由于m+3≠0 ，所以m=5，
所以当m=5时，复数z是实数。
当复数z=m2-m-6m+3+m2-2m-15i是虚数时，则m2-2m-15≠0，即m-5m+3≠0，解得m≠5且m≠-3，所以当m≠5且m≠-3时，复数z是虚数。
当复数z=m2-m-6m+3+m2-2m-15i是纯虚数时，则m2-m-6m+3=0且m2-2m-15≠0，即m-3m+2m+3=0且m-5m+3≠0，解得m=3或m=-2，
所以当m=3或m=-2时，复数z是纯虚数。
【方程求解】考查复数相等的条件
5、求满足下列条件的实数x,y的值。
（1）x+y+y-1i=2x+3y+2y+1i
（2）x+y-3+x-2i=0
答案：
因为x+y+y-1i=2x+3y+2y+1i，
所以有：x+y=2x+3yy-1=2y+1，化简得x+2y=0y=-2，解得x=4y=-2。
（2）因为x+y-3+x-2i=0，所以有： x+y-3=0x-2=0，解得x=2y=1。
6、若a,b∈R， i 是虚数单位，a+2021i=2-bi，则a2+bi=（ ）
A. 2021+2i B.2021+4i C.2+2021i D.4-2021i
答案：D
因为a+2021i=2-bi，所以a=2,b=-2021，所以a2+bi=22+-2021i=4-2021i。
【设计意图】通过多层次、多角度的练习，及时巩固概念，训练基本技能，暴露并纠正理解偏差。
4、课堂小结
引导学生回顾：虚数单位、复数形式、实部虚部、相等条件、分类体系。强调数系扩充的思想：添加新数，定义运算，保持运算律。
作业布置
习题7.1第1、2、3题（教材第73页）。
教学反思

历史情境导入能有效激发兴趣，化解对“虚数”的排斥感；部分学生可能仍觉得复数“不真实”。
从数系扩充的共性出发，帮助学生自然接纳新数；虚部概念与分类易混淆。
讲练结合，注重辨析，能较好地落实概念细节；参数讨论题涉及解方程与条件判断的综合运用，学生可能有困难。