人教版（2024）七年级下册（2024）两条直线垂直精品练习

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）两条直线垂直精品练习，共34页。
\l "_Tc3825" 【题型1 垂线的定义】1
\l "_Tc3825" 【题型2 垂线的画法】 PAGEREF _Tc3825 \h 3
\l "_Tc3825" 【题型3 垂线的性质】5
\l "_Tc7204" 【题型4 垂线段及其性质】6
\l "_Tc3801" 【题型5 点到直线的距离】8
\l "_Tc3801" 【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】9
\l "_Tc7917" 【题型7 利用垂直的定义求角】11
知识点1 垂直的定义
定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当∠AOC=90°（或其他任意一个交角等于90°）时，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若AB⊥CD，则四个交角均为90°．
【例1垂线定义】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，，垂足为O，直线经过点O．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，AO⊥BO，点O为垂足，直线CD过点O，且∠AOC:∠BOD=3:2，则∠AOC= ．
【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，∠DOE=43°，求∠AOF的度数．
【变式1-3】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
知识点2 垂直的画法
过一点画已知直线的垂线:
（1）用三角尺画:
（2）用量角器画，如图所示.
【题型2 垂线的画法】
【例2垂线的画法】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线BC、直线AC的垂线．
（2）在图2上过B点画出直线AC的垂线，过C点画出直线AB的垂线．

【变式2-2】如图，分别过点P作∠AOB的两边OA，OB的垂线．
【变式2-3】如图，点P是∠AOB的边OB上一点．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C．
知识点3 垂线的性质
垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【题型3 垂线的性质】
【例3垂线性质】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【变式3-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．同位角相等，两直线平行
【变式3-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）若AB⊥a，AC⊥a，则A、B、C三点共线，理由是： ．
知识点4 垂线段及其垂线段的性质
1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段．
2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短．
如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条．
【题型4 垂线段及其的性质】
【例4垂线段及其性质】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为B．可能为
C．可能为D．可能为
【变式4-1】如图，直线AB表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P，则沿图中线段PD修建可使用料最省．理由是 ．
【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ．
【变式4-3】如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B, C，小明在A处测得AB=7米，AC=9米，则点A到DE的距离可能为（ ）
A．6.4米B．7.2米C．8米D．9米
知识点5 点到直线的距离
特别提醒：“垂线段”和“点到直线的距离”的区别：垂线段是一条线段，是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量.
\l "_Tc3801" 【题型5 点到直线的距离】
【例5点到直线的距离】（25-26七年级上·浙江·假期作业）如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ．
【变式5-3】（2024七年级上.全国.专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ．
【题型6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】
【例6 利用垂直的定义判断两直线的位置关系】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，请说明：．
【变式6-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点A、O、B在同一直线上，平分，平分，求证：．
【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线相交于点O，平分，平分．
(1)判断与的位置关系并说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式6-3】（24-25七年级下.全国.课后作业）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线
①求∠COD的度数.
②判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
【题型7 利用垂直的定义求角】
【例7 利用垂直的定义求角】（22-23七年级下.全国.期中）在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是 ．
【变式7-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数．
【变式7-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）直线，相交于点，平分，，垂足为，若．
(1)求的度数．
(2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由．
【变式7-3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，．
(1)线段_________的长度表示点M到NE的距离；
(2)MN_________MO（填“>”“”“ 垂线段最短
(3)
【知识点】垂线段最短、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键．
（1）、（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离；
故答案为：．
（2）解：故答案为： ；垂线段最短．
（3）解：，平分，
，
．
步骤
画法
图示
一靠
将三角尺的一条直角边靠在已知直
线上,使其与已知直线重合
(1)点A在直线l上
(2)点B在直线l外
B
l
二过
沿已知直线移动三角尺,使三角尺
的另一条直角边经过已知点
三画
沿已知点所在的直角边画直线,这
条直线就是已知直线的垂线
文字语言
符号语言
图示
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离
如图,P为直线l外一点,PA⊥l于点A，则线段PA的长度就是点P到直线l的距离
步骤
画法
图示
一靠
将三角尺的一条直角边靠在已知直
线上,使其与已知直线重合
(1)点A在直线l上
(2)点B在直线l外
B
l
二过
沿已知直线移动三角尺,使三角尺
的另一条直角边经过已知点
三画
沿已知点所在的直角边画直线,这
条直线就是已知直线的垂线
文字语言
符号语言
图示
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离
如图,P为直线l外一点,PA⊥l于点A，则线段PA的长度就是点P到直线l的距离