数学人教A版2019选择性必修第一册 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积讲义（学生版＋教师版）

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考点一：圆柱的表面积和体积
考点二：圆锥的表面积和体积
考点三：圆台的表面积和体积
考点四：球的表面积和体积
考点五：球与多面体相切问题
考点六：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题
【知识梳理】
知识一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
知识二 圆柱、圆锥、圆台的体积
知识点三 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3.
【题型归纳】
题型一：圆柱的表面积和体积
1．（23-24高一下·贵州·期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，
因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，

底面圆的周长为，解得，
所以圆柱的体积．
故选：D．
2．（23-24高二·上海·课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．
故选：A
3．（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原圆柱的底面圆半径为，高为，得到，从而求出侧面积.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，
新几何体的表面积为，
故，原圆柱的侧面积为.
故选：B
题型二：圆锥的表面积和体积
4．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由轴截面正三角形可得，进而由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等可求半径．
【详解】几何体如图所示：
因为轴截面是正三角形，所以，
圆锥的侧面积等于，
圆锥的体积等于，
由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，
得，
得，
故选：C．
5．（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由条件结合圆锥表面积公式，弧长公式列方程求，，利用勾股定理可求，再利用体积公式求圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
因为圆锥的表面积为，
所以，
因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以，
所以，，
所以，
所以圆锥的体积.
故选：B.
6．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．
【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，
则由，得，所以，
所以．
故选：B．
题型三：圆台的表面积和体积
7．（23-24高一下·广东广州·期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．8B．7C．5D．3
【答案】D
【分析】根据侧面积公式求解即可.
【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则，
故.
故选：D
8．（23-24高一下·山东临沂·期中）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】根据台体的侧面积公式运算求解.
【详解】设圆台较小底面的半径为，可知较大的底面半径为，
则，解得，
所以圆台较小底面的半径为4.
故选：C.
9．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由为正三角形，，可得，再由，可得，利用勾股定理求出母线长，再结合圆台的表面积公式求解即可．
【详解】因为为正三角形，，所以，
又因为，所以，
即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆的高为，
可得圆台的母线长为，
所以圆台的表面积为．
故选：C．
题型四：球的表面积和体积
10．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积.
【详解】如图，

则该几何体的轴截面如下：

所以，，
∵与圆相切，点为切点，
∴，
过点作与点，
∴，∴，则，
即球的半径，∴这个球的表面积，
故选：D.
11．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积.
【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示：
则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是，
故选：C
12．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形的面积公式可求得，设的外心为，进而可求得，过作平面的垂线，可得外接球的半径，进而可求表面积.
【详解】因为为等腰三角形且面积为，所以，又，
所以，所以，设的外心为，
可得，过作平面的垂线，
则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上，
所以，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
题型五：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题
16．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示（单位：cm），求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
注：圆台的侧面积公式：，其中分别为圆台上、下底面圆的半径，为母线长.
【答案】表面积，体积
【分析】图中阴影部分绕旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和5，高为4的圆台，再减去一个半径为2的半球，根据球和圆台的表面积和体积公式即可求解所成几何体的表面积和体积.
【详解】由题意知，图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体为：上、下底面半径分别为2和5，高为4的圆台，再减去一个半径为2的半球，
所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，
，，，
故所求几何体的表面积为；
由，
，
所以所求几何体的体积为.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以.

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积.
所以剩下的几何体的体积.
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，
它的外接球的球半径满足，即.
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

18．（23-24高一下·浙江·期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
(1)求此圆锥的表面积与体积；
(2)试用x表示圆柱的高h；
(3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
【答案】(1)表面积，体积
(2)，
(3)当时，.
【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算即可得出关系式；
（3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值.
【详解】（1）由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）由相似可得，得，；
（3）记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
【检测达标】
1．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.
(1)计算该模型的体积.（结果精确到）
(2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)（元）
【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解；
（2）求出该模型的表面积，进而可得出答案.
【详解】（1）设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为10cm，
则，
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
，
故总费用为（元）.
2．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.

(1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为，；
(2)().
【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果；
（2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果.
【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
3．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求：
(1)剩余部分几何体的体积；
(2)剩余部分几何体的表面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解.
（2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解.
【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形，
所以底面圆的半径为，
设圆柱高为，则圆柱体积为，解得，
所以剩余几何体的体积为.
（2）剩余部分几何体的表面积为
.
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
几何体
体积
说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝πr2h
圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥
V圆锥＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h
圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台
V圆台＝eq \f(1,3)(S＋eq \r(SS′)＋eq \r(S′))h＝eq \f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h
圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h