数学人教A版2019选择性必修第一册 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（学生版＋教师版）

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一、平面
二、平面的基本事实
1.基本事实
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间点、直线、平面之间的位置关系
考点01 位置关系的画法及平面的基本性质
1．每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（ ）
A．两条直线确定一个平面B．三点确定一个平面
C．不共线三点确定一个平面D．两条平行直线确定一个平面
2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
3．已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）．
4．（多选）下图中图形的画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在长方体中，
(1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）；
(2)画出平面与平面的交线．
考点02 点共面
6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面
8．已知：，求证：直线共面于.

9．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面；
10．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.
(1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
(2)若，求三棱锥的体积.
考点03 点共线
11．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．

12．如图，已知：，，，，，求证：．

13．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
(1)求证：、、、四点共面；
(2)设与交于点，求证：、、三点共线．
14．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、三线交于一点．
已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.
考点04 线共点
16．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（ ）
A．一定在直线上；
B．一定在直线上；
C．可能在直线上，也可能在直线上；
D．不在直线上，也不在直线上．
17．如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．
18．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：

(1)直线和在同一平面上；
(2)直线、和交于一点．
19．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点.
20．如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．

考点05 空间中直线与直线的位置关系
21．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
22．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）
A． B． C．CDD．
23．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）．

A．和；B．和；C．和；D．和．
24．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线B．直线与是异面直线
C．与平行D．直线与共面
25．正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
考点06 空间直线与平面的位置关系
26．已知直线直线，且与平面相交，那么与平面的位置关系是（ ）
A．相交
B．平行或在平面内
C．相交或平行
D．相交或在平面内
27．已知为直线，为平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
28．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
29．已知为异面直线，平面平面，则（ ）
A．与都相交B．与中至少一条相交
C．与都不相交D．至多与中的一条相交
30．若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与、中的一条相交B．与、都相交
C．至多与、中的一条相交D．与、都不相交
考点07 空间中平面与平面的位置关系
31．已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
32．“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”）
33．已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
34．（多选）已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（ ）
A．不平行是不平行的充分条件
B．不相交是不相交的必要条件
C．垂直且相交是垂直的充分条件
D．平行或相交是异面的必要条件
35．如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ．
基础试炼
1．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线；B．直线；
C．直线；D．以上均不正确．
2．若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（ ）
A．内存在与平行的直线B．内所有直线都与异面
C．与有公共交点D．内所有直线都与相交
3．不共面的四点最多可确定（ ）个平面
A．3B．4C．5D．6
4．已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（多选）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（ ）
A．B．C．D．
7．有下列四个说法：
①不在同一直线上的三点确定一个平面；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③三条直线两两相交则确定一个平面；
④两个相交平面把空间分成四个区域．
其中错误说法的序号是 ．
8．已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ．
9．正方体中，

（1）异面直线与所成角的大小为 ；
（2）异面直线与所成角的大小为 ；
（3）异面直线和所成角的大小为 ．
10．如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
11．如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系．
12．如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．

(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)，，，四点是否共面？为什么？
平面
叙述
平面的表示
①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面
可写成平面，平面，平面或平面（对角线）
平面的画法
①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；
②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线
图示

平面的特点
①平面是平的；
②平面是无限延展的没有边界的；
③平面是没有厚度的。
点、直线、平面的位置关系
①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”；
②直线与平面的位置关系只能用“”或“”
基本事实
基本事实1
基本事实2
基本事实3
叙述
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图示
符号表示
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使
且
⇒ l且
作用
确定一个平面或判断“直线共面”的方法
①检验平面；
②判断直线在平面内；
③由直线在平面内判断直线上的点在平面内
①判定两平面相交；
②作两平面相交的交线；
③证明多点共线
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图示
符号
语言
a∥b
a∥α
相交关系
图示
符号
语言
独有关系
图示
符号
语言
a，b是异面直线