初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第4章 图形的轴对称4.4 等腰三角形精练

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第4章 图形的轴对称4.4 等腰三角形精练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（ ）
A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个
2.如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 A'点，若 ∠OAA'=50° ， 则秋千旋转的角度为（ ）

A . 50° B . 60° C . 80° D .90°
3.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于（ ）
A . 80° B . 90° C . 100° D . 110°
4.若实数x，y满足|x﹣4|+ Y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A . 12 B . 16 C . 16或20 D . 20
5.如图，A，C，E三点在同一直线上， △ABC ， △CDE都是等边三角形， AD与 BE交于点 O ， AD与 BC交于点 P ， BE与 CD交于点 Q ， 连接 PQ ， OC ， 下列结论中正确的是（ ）
① △ACD≌△BCE；② △CPQ是等边三角形；③ OC平分 ∠AOE；④ PQ∥AE；⑤ △BPO≌△EDO ．
A . ①③④⑤
B . ②③④⑤
C . ①②③④
D . ①②③④⑤
6.如图：∠ DAE＝∠ ADE＝15°， DE∥ AB ， DF⊥ AB ， 若 AE＝8，则 DF等于（ ）
A . 10 B . 7 C . 5 D . 4
7.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）
A . 等边三角形
B . 等腰三角形
C . 锐角三角形
D . 钝角三角形
二、填空题
1.生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 ________ ．
2.如右图，C是线段AB上的一点， △ACD和 △BCE都是等边三角形， AE交 CD于M， BD交 CE于N，交 AB于O，则：① DB=AE；② ∠AMC=∠DNC；③ △MCE是等腰三角形；④ △MCN是等边三角形；⑤ ∠AOD=60° ， 其中，正确的有 ________ ．

3.等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC等于 ________ ．
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ________
5.如果一个等腰三角形的一个外角等于 60° ， 则该等腰三角形的底角的度数是 ________ ．
6.如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ∠1+∠2+∠3= ________ ．
7.如图，边长为 2的等边三角形中， E是对称轴 AD上的一个动点，连接 CE将线段 CE绕点 C顺时针旋转 60°得到 CF ， 连接 DF ， 则在点 E运动过程中， DF的最小值是 ________ ．
8.如图，在平行四边形 ABCD中， E是 AD边上的中点．若 ∠ABE=∠EBC ， AB=2 ， 则平行四边形 ABCD的周长是 ________ ．
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
5.如图是由边长为1的小正方形组成的 6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1） 在图1中以线段 AB为边作锐角 △ABC（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）；
（2） 在图2中以线段 AB为腰作等腰直角 △ABC（作出一个即可）， △ABC的面积为______；
（3） 在图3中的直线l上画出点P，使得 PA+PB最短．
四、综合题
1.在Rt△ ACB中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC ， D为 AB上一点，连结 CD ， 将 CD绕 C点逆时针旋转90°至 CE ， 连结 DE ， 过 C作 CF⊥ DE交 AB于 F ， 连结 BE ．
（1） 求证： AD＝ BE；
（2） 求证： AD 2+ BF 2＝ DF 2；
（3） 若∠ ACD＝15°， CD＝ 3 +1，求 BF ．
2.如图，P是等边 △ABC内的一点，连接 PA，PB，PC ， 以 BP为边作 ∠PBQ=60° ， 且 BQ=BP ， 连接 CQ.若 PA：PB：PC=3：4：5 ， 连接 PQ.
（1） 证明： △ABP≌△CBQ；
（2） 求 ∠BQC的度数.
3.如图
（1） 如图1，等腰 ΔABC 和等腰 ΔADE 中， ∠BAC=∠DAE=90° ， B ， E ， D 三点在同一直线上，求证： ∠BDC=90° ；
（2） 如图2，等腰 ΔABC 中， AB=AC ， ∠BAC=90° ， D 是三角形外一点，且 ∠BDC=90° ，求证： ∠ADB=45° ；
（3） 如图3，等边 ΔABC 中， D 是形外一点，且 ∠BDC=60° ，
① ∠ADB 的度数为 ________ ；
② DA ， DB ， DC 之间的关系是 ________ .
4.已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．
（1） 如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；
（2） 如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；
（3） 如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．
五、解答题
1.如图，李明同学想测量泸州白塔 CD的高度，他在A处测得 ∠CAD=15° ， 再往前行进 60m到达B处，此时测得 ∠CBD=30° ， 点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔 CD的高度．
2.已知a， b， c为 △ABC的三边长， 若a， b满足 a−6+b2−8b+16=0 ，
（1） 求c的取值范围．
（2） 若c是整数，且 △ABC为等腰三角形，求 △ABC的周长．
3.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．
4.体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接 PA ， 利用 △PAD与 △PAB面积之和是菱形面积的 12 ， 可求出 PE+PF的值．
（1） 如图1，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD的长分别为6和8，点 P为对角线 BD上一动点（不与点 B、 D重合），过点 P分别作 AD和 AB的垂线，垂足为点 E和 F ， 求 PE+PF的值，请你写出求解过程．
（2） 如图2，若 ABCD为矩形，点 M ， N分别在边 AD ， BC上，将矩形 ABCD沿直线 MN折叠，使点 D恰好与点 B重合，点 C落在点 C'处．点 P为线段 MN上一动点（不与点 M ， N重合），过点 P分别作直线 BM ， BC的垂线，垂足分别为 E和 F ， 以 PE ， PF为邻边作平行四边形 PEGF ， 若 DM=13 ， CN=5 ， 求平行四边形的周长；
（3） 如图3，当点P是等边 △ABC外一点时，过点 P分别作直线 AB ， AC ， BC的垂线，垂足分别为点 H1 ， H2 ， H3 ， 若 PH1−PH2+PH3=3 ， 请求出 △ABC的面积，并写出推理过程．
5.陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．