八年级上册（2024）4.4 等腰三角形教学演示课件ppt

这是一份八年级上册（2024）4.4 等腰三角形教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，课时流程，逐点导讲练，课堂小结，作业提升，感悟新知，知识点，等腰三角形的性质，由角平分线得到高线等内容，欢迎下载使用。
等腰三角形的性质等边三角形的性质等腰三角形的判定等边三角形的判定含 30°角的直角三角形的性质
拓展延伸： 等腰三角形的其他性质(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；(2)等腰三角形两底角的平分线相等；(3) 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点 到 两 腰 的 距 离相等；(4) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(5) 当等腰三角形的顶角为 90° 时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是 45° 。
特别提醒1.性质定理1的适用条件：必须在同一个三角形中。2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便。
特别解读1.性 质 定 理2的 适 用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合。2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法。3.知 道 其 中“一 线”，就可以说明是其他 “两线”。
如 图 4.4-1， 在 △ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC。(1)求∠ ADB 的度数；(2)若∠ BAC=100°，求∠ B，∠ C 的度数；(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长。
解题秘方：紧扣等腰三角形“等边对等角”“三线合一” 的性质解答。
解：因为 AB=AC， AD 平分∠ BAC，所以 AD ⊥ BC。所以∠ ADB=90°。
(1)求∠ ADB 的度数；
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B，∠ C 的度数；(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长。
1-1.如 图，在 △ ABC中， AB=AC， AD ⊥ BC于点D。若AB=6， CD=4，则 △ ABC的周长是(     ) A.10        D.20
1-2.如 图，在 △ ABC中， AB=AC，∠ BAC=140 °， AD 是 BC 边 上的中线，且BD=BE，则∠ ADE的大小为(     ) A.10°     B.20°C.40°     D.70°
[中考·北京]如图 4.4-2，在△ ABC 中， AB=AC， AD 是BC 边上的中线， BE ⊥ AC 于点 E。求证：∠ CBE= ∠ BAD。
证明： 因为 AB=AC， AD 是 BC 边上的中线，所以 AD ⊥ BC， ∠ BAD= ∠ CAD。所以∠ ADC=90° 。所以∠ CAD=90° - ∠ C。因为 BE ⊥ AC，所以∠ BEC=90° 。所以∠ CBE=90° - ∠ C。所以∠ CBE= ∠ CAD。所以∠ CBE= ∠ BAD。
解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题。
2-1. .[ 中 考· 宿 迁]如图，已 知 AB=AC=AD，且 AD ∥ BC， 求 证：∠ C=2∠ D。
证明：因为AB＝AC＝AD，所以∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD。因为∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，所以∠ABC＝∠CBD＋∠D。因为AD∥BC，所以∠CBD＝∠D。所以∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D。又因为∠C＝∠ABC，所以∠C＝2∠D。
如图 4.4-3，在△ ABC 中， AB=AC， D，E 是 BC 边上的点，且 BD=CE。求证： AD=AE。
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△ ABD和△ ACE全等创造条件，或者作出底边BC上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质证明其垂直平分DE。
3-1.如 图，在 △ ABC中， AB=AC， D 是 BC的 中 点， E， F 分 别 是AB， AC 上 的 点，且AE=AF，求证： DE=DF。
如 图 4.4-4，在 △ ABC 中， AB=AC，点 D， E 分 别 在AC， AB 边上，且 BC=BD， AD=DE=EB，求∠ A 的度数。
解题秘方：利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质表示相关角，再利用三角形内角和定理建立方程求解。
4-1.如 图，在 △ ABC中， AB=AC， D是边AC上一点， AD=BD， BC=DC，求∠ A的度数。
特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：1.任意两边都可以作为腰；2.任意一个角都可以作为顶角；3.任意一边上都“三线合一”。
如 图 4.4-5， P 是 △ ABC 内 一 点， 若 ∠ PBC=∠ PCB=10°， △ APC 是等边三角形，求∠ ABP 的度数。
解题秘方：紧扣等边三角形的边角性质和“等角对等边” 计算。
5-1. [期中·青岛黄岛区] 如图，△ ABC为等边三角 形， BC ⊥ CD， AC=CD，则∠ CED=________。
如图 4.4-6，等边三角形 ABC 的边长为 3， D 是 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，若 DE=DB，求 CE 的长。
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化。
6-1.如图，△ ABC为等边三角形，AD⊥ BC，AE=AD，则∠ ADE=____。
6-2.如 图，△ ABC 是等 边 三 角 形， BD平 分∠ ABC， 点 E 在 BC 的延 长 线 上，且CE=1，∠ E=30°，则BC=_____。
如图 4.4-7，△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形。求证：BD=CE。
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等证明△ BAD ≌ △ CAE，进而得出结论。
7-1.如 图，△ ABC 为等边三角形， D为边BA延 长 线 上 一 点，连 接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判 断 AE 与 BC 的 位 置关系，并说明理由。
解：AE∥BC。理由如下：因为△ABC与△CDE都为等边三角形，所以BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°。所以∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE。所以△BCD≌△ACE(SAS)。所以∠B＝∠EAC。所以∠EAC＝∠ACB。所以AE∥BC。
辨析： 等腰三角形的判定与性质的区别
特别提醒1.等腰三角形的定义也是一种判定方法。2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等。
2. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已 知：一 个 等 腰 三 角 形 底 边 长 为 a，底 边 上 的 高 为 h（如图 4.4-8）。求作：这个等腰三角形。作法：如图 4.4-9。(1)作线段 AB=a；(2)作线段 AB 的垂直平分线 EF，交 AB 于点 D；(3)在 DE 上截取 DC=h；(4)连接 AC， BC。 △ ABC 即为所求作的等腰三角形。
特别解读解决复杂作图题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。
如图 4.4-10， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，且 AD 平分∠ BAC，求证：△ ABC 为等腰三角形。
解题秘方：根据等腰三角形的定义来判定，只需说明有两边相等即可。
8-1.如图，在△ ABC中，点 D 是 边 BC 上 的 一点，点 E 是 边 AC 上 的一 点，且 AB=AC=DC，BD=CE，连接AD， DE。(1)求证：△ ADE 是 等腰三角形;
(2)若∠ ADE=40°，求∠ BAC的度数。
解：因为△ABD≌△DCE，所以∠BAD＝∠EDC。所以∠BAD＋∠BDA＝∠EDC＋∠BDA＝180°－∠ADE＝140°。所以在△ABD中，∠B＝180°－(∠BAD＋∠BDA)＝180°－140°＝40°。所以∠C＝∠B＝40°。所以∠BAC＝180°－40°－40°＝100°。
如 图 4.4-11， 在 △ ABC 中， D 为 AC 的 中 点，DE ⊥ AB， DF ⊥ BC，垂足分别为 E， F，且 DE=DF。求证：△ ABC 是等腰三角形。
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可。
9-1.如 图，在 △ ABC中， P是BC边上一点，过 点 P 作 BC 的 垂 线，交 AB 于 点 Q， 交 CA的 延 长 线 于 点 R，若AQ=AR，求证：△ ABC是等腰三角形。
证明：因为AQ＝AR，所以∠R＝∠AQR。又因为∠BQP＝∠AQR，所以∠R＝∠BQP。因为RP⊥BC，所以∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°。所以∠B＝∠C。所以AB＝AC。所以△ABC是等腰三角形。
尺规作图：已知线段 a（如图 4.4-12），画一个底边长为 a，底边上的高的长也为 a 的等腰三角形。
解： 如图 4.4-13。(1)作线段 BC=a；(2)作线段 BC 的垂直平分线 MN，与 BC 相交于点 D；(3)在 DN 上截取 DA=a；(4)连接 AB， AC。 △ ABC 就是所求作的等腰三角形。
10-1. [中考·陕西]如图， 已 知 直 线l和l外 一 点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）。
解：如图，△ABC即为所求作的等腰直角三角形。(作法不唯一)
1. 等边三角形的判定方法
可以是顶角，也可以是底角
2. 证明等边三角形的思维导图（如图 4.4-14）
特别解读等 边 三 角 形 的 证 明思路：
如 图 4.4-15， 在 △ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=120°，点D， E在BC上，AD ⊥ AC， AE ⊥ AB。求证：△ AED 为等边三角形。
解题秘方：利 用 等 边 三 角 形 的 判 定 定 理 1，通 过 求∠ ADE= ∠ AED= ∠ DAE=60° ，得△ AED 为等边三角形。
11-1.如图，在四边形ABCD 中， AB ∥ DC，DB平分∠ ADC，∠ A=60°。求证：△ ABD是等边三角形。
如图 4.4-16，在△ ABC 中，∠ A=120°， AB=AC， D是 BC 的中点， DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，点 E， F 为垂足。求证：△ DEF 是等边三角形。
解题秘方：要 证 △ DEF 是 等 边三 角 形，关 键 是 得 到 DE=DF，且∠ EDF=60° ，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出。
12-1.如图，在等边三角 形 ABC 中， 点 P 在△ ABC 内， 点 Q 在△ ABC外，且 ∠ ABP=∠ ACQ， BP=CQ， 问△ APQ是 什 么 形 状 的三角形？试说明你的理由。
含 30°角的直角三角形的性质
2. 作用： 应用于证线段的倍分关系和计算角度。拓展： 该性质反过来说也成立。在直角三角形中，如果 一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于 30° 。
特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°。二者缺一不可。
如 图 4.4-18，在 Rt △ ABC 中 ，∠ C=90 ° ， AB 边 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N，且∠ B=15°， AC=4 cm，求 BN 的长。
解题秘方：先构造含 30° 角的直角三角形，再利用含 30°角的直角三角形的性质求线段长。
解： 如图 4.4-18，连接 AN。因为 MN 为 AB 边的垂直平分线，所以 AN=BN。所以∠ NAB= ∠ B=15° 。所以∠ ANC= ∠ B+ ∠ NAB=30° 。又因为∠ C=90° ，所以 AN=2AC=2× 4=8（cm）。所以 BN=8 cm。
教你一招： 1. 求某直角三角形的边长时，考虑构造含 30°角的直角三角形。2. 若给出的是 15° 角，则构造以 15° 角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为 30° 的角。
13-1. [期中·北京海淀区] 如图，在△ ABC中， AB=AC， ∠ BAC=120 °，AC 边 的 垂 直 平 分 线DE与BC边交于点D，垂足为 E，若 DE=1，求线段 CD 和 BC 的长。
如 图 4.4-19，在 等 边 三 角 形 ABC 中， AE=CD， AD，BE 相交于点 P， BQ ⊥ AD 于 Q。求证： BP=2PQ。
证明： 因为△ ABC 是等边三角形，所以 AB=AC， ∠ BAE= ∠ C=60° 。又因为 AE=CD，所以△ ABE ≌ △ CAD（SAS）。所以∠ ABE= ∠ CAD。所以∠ BPQ=∠ ABE+∠ BAP=∠ CAD+∠ BAP=∠ BAE=60°。因为 BQ ⊥ AD，所以∠ BQP=90° 。所以∠ PBQ=90° - ∠ BPQ=30° 。所以 BP=2PQ。
方 法 点 拨： 在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的 2 倍，一是证明这个三角形是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于 30° 。