初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第4章 图形的轴对称4.4 等腰三角形当堂达标检测题

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第4章 图形的轴对称4.4 等腰三角形当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形， 其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③点O到四条边的距离都相等，④AO＝OC.其中正确的结论有（ ）个.
A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
3.在▱ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（ ）
A . 83 B . 82 C . 8 D . 16
4.已知 a−4+b−32=0 ， 则以a，b为边的等腰三角形的周长为（ ）
A . 10 B . 10或11 C . 11 D . 无法确定
5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为（ ）
A . 20° B . 25° C . 30° D . 35°
6.直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（ ）个．
A . 4 B . 5 C . 7 D . 8
7.将一副三角板按照如图方式摆放，则 ∠BGE的度数为（ ）
A . 65° B . 75° C . 85° D .105°
8.利用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°”，应先假设（ ）
A . 三角形的每个角都小于60°
B . 三角形有一个角大于60°
C . 三角形的每个角都大于60°
D . 三角形有一个角小于60°
9.如图，点 A是直线 l:y=33x+3在第一象限上的一点，线段 BC在 x轴上，且 △ABC是等边三角形，直线 l上存在一动点 P ， 已知 PB−PC的最大值为 43 ， 则点 A的横坐标是（ ）
A . 3 B . 4 C . 33 D .6
二、填空题
1.以下四个命题：①如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，那么这个三角形一定是等腰三角形：②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形：③一组数据2，4，6.4的方差是2；④△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，且位似比为1：4，已知∠OCD=90°，OC=CD．点A、C在第一象限．若点D坐标为（2 3 ， 0），则点A坐标为（ 34 ， 34），其中正确命题有 ________ （填正确命题的序号即可）
2.矩形一个角的平分线分矩形一边为2cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 ________ cm 2.
3.杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形 ABCD ， 伞骨连接点A固定在伞柄 AP顶端，伞圈C能沿着伞柄 AP滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄 AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于 AP的一半，若夹角 ∠BAD=2∠BOD ， 则 ∠BCD的度数是 ________ ．
4.如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ∠1+∠2+∠3= ________ ．
5.如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含 45°的三角尺，即等腰直角 △MNK和等腰直角 △ABC做了一个探究活动：将 △MNK的直角顶点 M放在 △ABC的斜边 AB的中点处，设 AC=BC=5 ， 此时重叠部分四边形 CEMF的面积为 ________ ．
6.命题“若△ABC中，AC 2+BC 2≠AB 2 ， 则∠C≠90°”的结论是 ________ ，若用反证法证明此命题时应假设 ________
7.凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形 AOBC的边 OA=OB=BC≠AC ， 且点 O0,0 ， 点 A0,16 ， 点B在x轴的正半轴，如果对角线 OC把四边形 AOBC分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为 ________ ．
8.上午8时，一艘轮船从A处出发，以 15海里/时的速度向正北航行，上午 10时到达B处，从A，B处测得灯塔C在A的北偏西 42° ， 在B的北偏西 84° ， 则B距灯塔C ________ 海里．
9.《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线 l1:y=12x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线 l2:y=x于点 O1 ， 过点 O1作y轴的平行线交直线 l1于点 A1 ， 以此类推，令 OA=a1 ， O1A1=a2 ， …， On−1An−1=an ， 则 △A2024A2025O2025的面积 = ________ ．
10.定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段 PQ的最大值称为该图形的“通径”．已知 △ABC中， S△ABC=12 ， BC是等腰 △ABC的最短边，将 △ABC沿 AC翻折得到 △ACB' ， 四边形 ABCB'的“通径”是8，将 △ABC沿 AB翻折得到 △ABC' ， 四边形 ACBC'的“通径”也是8，则 AB+AC= ________ ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
三、作图题
1.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
2.作一个等腰三角形，使它的腰长为3cm，底边长为2cm。
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
四、综合题
1.“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传.如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1） 村庄能否听到宣传？请说明理由.
（2） 如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
2.探究等边三角形“手拉手”问题.
（1） 如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2） 如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3） 如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE.若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由.
3.如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1） 若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2） 若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3） 在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
五、解答题
1.如图，点A在x轴负半轴上，直线 y=−x+6与x轴、y轴分别相交于点B，C，且 OB=2OA ．
（1） 求直线 AC的表达式；
（2） 点P，Q分别为直线 AC，BC上一点，连接 PQ ， 设点P的横坐标为t．
①当点P在线段 AC 上且 PQ∥x轴时，请用含t的代数式表示点Q的坐标；
②当点Q是 BC的中点且 ∠CPQ=45°时，请直接写出t的值．
2.试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
3.用一条长为18的细绳围成有一边的长是4的等腰三角形，求这个三角形另外两条边长．
4.（1）在 △ABC中，已知 ∠A−∠B=30° ， ∠C=4∠B ， 求 ∠A,∠B,∠C的度数，并判断这个三角形的形状．
（2）若等腰三角形的两边长分别是3和6，求等腰三角形的周长．
5.目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一，现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为 BC=9m和 AC=12m ， 现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分包含以 AC=12m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为多少？
六、阅读理解
1.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．
2.先阅读理解，
（1） 再解答：如图（1），对于矩形（即：有一个角是直角的平行四边形） ABCD ， 对角线相交于点 E ， 因其有“对角线相等”，“对角线互相平分”，“四个角都是直角”的性质，所以我们可以得出一个结论：“直角三角形斜边上的中线等于 ________ 的一半”．用数学符号表示为：如图（2），在 RtΔABD中， ∠BAD=90° ， 点 E是斜边 BD上的中点，则 AE= ________ = ________ = ________ ．
（2） 如下图，在 ΔABC中， ∠A=60° ， BE⊥AC ， 垂足为 E ， CF⊥AB ， 垂足为 F ， 点 D是 BC的中点，BE， CF交于点 G ．
①如图1， ΔABC是直角三角形，即若 ∠ACB=90° ， 求证： ΔDEF是等边三角形；
②如图2，3， ΔABC分别是锐角三角形和钝角三角形，试猜想 ΔDEF是不是等边三角形？如果 ΔDEF是等边三角形，请加以证明：如果 ΔDEF不是等边三角形，请说明理由（请选择其中一种情形进行解答）；
（3） 在图2，3中，如果 CG=4 ， FG=6 ， 分别求 BE的长度．