数学八年级上册（2024）4.5 等腰三角形同步训练题

这是一份数学八年级上册（2024）4.5 等腰三角形同步训练题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（ ）个。
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
2.如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形 ABC ， 若 AB=AC=30cm ， D是 BC的中点， ∠ABC=30° ， 则 AD的长为（ ）
A . 10 cm B . 12 cm C . 15 cm D . 153cm
3. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A . 25° B . 30° C . 45° D . 60°
4.如图：∠ DAE＝∠ ADE＝15°， DE∥ AB ， DF⊥ AB ， 若 AE＝8，则 DF等于（ ）
A . 10 B . 7 C . 5 D . 4
5.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC= 53 ， 点 P 在线段BC 上运动(含 B，C两点)，连结AP，以点 A为中心，将线段 AP 逆时针旋转60°得到 AQ，连结 DQ，则线段 DQ的最小值为（ ）
A . 52 B . 52 C . 533 D . 3
6.某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐 AB=AC=10米，横梁 BC=16米，那么从梁 BC上的任意一点 D要支一根木头顶住屋顶 A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（ ）
A . 5米 B . 12米 C . 8米 D . 16米
7.如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A . 110° B . 120° C . 130° D . 140°
8. 把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（ ）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等边三角形
D . 任意三角形
9.如图，在四边形 ABCD中， AB=BC=2 ， CD=3 ， DA=1 ， 且 ∠B=90° ， 则 ∠DAB=（ ）
A . 120° B . 110° C . 135° D .150°
10.如图， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE=90° ， 下列结论中：① △ABD≌△ACE ， ② BD=CE ， ③ BD⊥CE ， ④ AF平分 ∠CAE ， ⑤ FA平分 ∠BFE ， 其中正确的有（ ）
A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
二、填空题
1.两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6 cm ，则线段OP＝ ________ cm ．
2.如图，某公园的入口可以抽象成一个等边△ABC，立柱 DE 的端点 D 在AB上，立柱 GF 的端点 G在AC 上，且两立柱均与地面 BC 垂直，若 BD=4，则 BE 的长度为 ________ .
3.△ABC中， ∠BAC=120°, AB=AC ， E是 BC上一点， D是 △ABC内一点， ∠DAE=30°,∠ADE=90° ， 连接 BD并延长交 AC于点 F ， 则 AF, CE, DE之间的数量关系为 ________ ．
4.三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在 △ABC中， ∠C=45°,2∠A=∠C,AB=5 ， 则 △ABC的面积为 ________ ．
5.如图 ， 已知直线 l：y=x+2交x轴于A，交y轴于点 A1 ， 点 A2 ， A3 ， …在直线l上 ，点 B1，B2，B3 ， …在x轴的正半轴上 ，若 △A1OB1 ， △A2B1B2 ， △A3B2B3 ， …均为等腰直角三角形 ，且直角顶点都在x轴上，则 △A2025B2024B2025的面积为 ________ ．
6.如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含 45°的三角尺，即等腰直角 △MNK和等腰直角 △ABC做了一个探究活动：将 △MNK的直角顶点 M放在 △ABC的斜边 AB的中点处，设 AC=BC=5 ， 此时重叠部分四边形 CEMF的面积为 ________ ．
7.一个直角三角形，有一个锐角是65°，另一个锐角是 ________ ．
8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 45°方向，距离灯塔 502海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 ________ 海里．
9.如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A 1B 1C 1 ， 算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2B 2C 2 ， 作出了第二个正三角形△A 2B 2C 2 ， 算出第2个正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A 3B 3C 3 ， 算出第3个正△A 3B 3C 3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A nB nC n的面积是 ________ ．
10.等腰ΔABC的腰AB边上的中线CD，把ΔABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为 ________ .
三、作图题
1.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
2.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
四、综合题
1.在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°,∠ABC=30° ， AB=8 ． 点D为边 AB上的动点，连接 CD ， 将 △ACD沿直线 CD翻折，得到对应的 △A'CD ．
（1） 如图1，当点 A'落在线段 BC上时，求线段 BA'的长；
（2） 如图2，当线段 DA'∥BC时，求线段 AD的长；
（3） 如图3，当 △DBA'为直角三角形时，求线段 A'B2的值．
2.如图．等圆 ⊙O1和 ⊙O2相交于 A，B两点， ⊙O1经过 ⊙O2的圆心 O2 ， 连接 AB ， 作直径 AC ， 延长 O3B到点 D ， 使 DB=O2B ， 连接 DC ．
（1） ∠ABO2= ________ 度；
（2） 求证： DC为 ⊙O2的切线；
（3） 若 DC=33 ， 求 ⊙O2上 AB的长．
3.（1）问题：如图1，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90° ， AB=AC ， D为 BC边上一点（不与点 B ， C重合），连接 AD ， 过点 A作 AE⊥AD ， 并满足 AE=AD ， 连接 CE ． 则线段 BD和线段 CE的数量关系是_____，位置关系是_____．
（2）探索：如图2，当 D点为 BC边上一点（不与点 B ， C重合）， Rt△ABC与 Rt△ADE均为等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90° ， AB=AC ， AD=AE ． 试探索 BD2 ， CD2 ． AD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形 ABCD中， ∠ABC=∠ACB=∠ADC=45° ， 若 BD=5 ， CD=3 ， 请求出线段 AD的长．
4.如图①，直线AB与x轴正半轴交于A（a，0）与y轴正半轴交于B（0，b）.
（1） 若a+b=8，且 1a+1b=12 ，求△AOB的面积；
（2） 若分式 a−ba+b 的值为0，过点B作BC平分∠OBA交x轴于C点，求证： BO+OCAB=1 ；
（3） 如图②，在（2）的条件下，过O点作OD⊥BC于D点，求 BC−2CDOD 的值.
5.（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， 点E是 BC的中点，若 AE是 ∠BAD的平分线，试判断 AB ， AD ， CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点F，易证 △AEB≌△FEC ， 得到 AB=CF ， 从而把 AB ， AD ， CD转化在一个三角形中即可判断： AB ， AD ， CD之间的等量关系为 ；
（2）如图②，在 △ABC中， ∠B=90° ， AB=1 ， AD是 △ABC的中线， CE⊥BC ， CE=3 ， 且 ∠ADE=90° ， 求 AE的长；
（3）如图③， CB是 △AEC的中线， CD是 △ABC的中线，且 AB=AC ， 判断线段 CE与线段 CD的数量关系，并证明 ∠BCD=∠BCE ．
五、解答题
1.已知一张三角形纸片 ABC（如甲图），其中 ∠B=∠C ． 将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到 AB边上的点E处，折痕为 BD（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为 EF（如丙图）．
（1） 请直接找出丙图中除 △ABC外的所有等腰三角形；
（2） 请求出甲图 △ABC中各角的度数．
2.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．
3.如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠D=∠E．
（1） 求证：△ACE≌△BCD；
（2） 请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由；
（3） 分别连接CO，GF，求证CO垂直平分GF．
4.体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接 PA ， 利用 △PAD与 △PAB面积之和是菱形面积的 12 ， 可求出 PE+PF的值．
（1） 如图1，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD的长分别为6和8，点 P为对角线 BD上一动点（不与点 B、 D重合），过点 P分别作 AD和 AB的垂线，垂足为点 E和 F ， 求 PE+PF的值，请你写出求解过程．
（2） 如图2，若 ABCD为矩形，点 M ， N分别在边 AD ， BC上，将矩形 ABCD沿直线 MN折叠，使点 D恰好与点 B重合，点 C落在点 C'处．点 P为线段 MN上一动点（不与点 M ， N重合），过点 P分别作直线 BM ， BC的垂线，垂足分别为 E和 F ， 以 PE ， PF为邻边作平行四边形 PEGF ， 若 DM=13 ， CN=5 ， 求平行四边形的周长；
（3） 如图3，当点P是等边 △ABC外一点时，过点 P分别作直线 AB ， AC ， BC的垂线，垂足分别为点 H1 ， H2 ， H3 ， 若 PH1−PH2+PH3=3 ， 请求出 △ABC的面积，并写出推理过程．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
3.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．