2026届高三数学二轮复习课件：板块一　三角函数与平面向量　进阶点1　三角函数与解三角形中的创新问题（含解析）

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三角函数与解三角形的创新问题有两种类型:(1)与三角函数、解三角形有关的新定义问题;(2)三角函数、解三角形与其他知识的交汇创新问题,主要涉及平面几何、立体几何、不等式、向量等知识.
类型一　与三角函数有关的新定义问题
类型二　与解三角形有关的新定义问题
类型三　解三角形与其他知识的交汇
已知定义域为R的函数h(x)满足:对于任意的x∈R,都有h(x+2π)=h(x)+h(2π),则称函数h(x)具有性质P.(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=cs x是否具有性质P;(直接写出结论)
因为f(x)=2x,则f(x+2π)=2(x+2π)=2x+4π,又f(2π)=4π,所以f(x+2π)=f(x)+f(2π),故函数f(x)=2x具有性质P;
因为g(x)=cs x,则g(x+2π)=cs(x+2π)=cs x,又g(2π)=cs 2π=1,g(x)+g(2π)=cs x+1≠g(x+2π),故g(x)=cs x不具有性质P.
则f(x+2π)=sin 2(x+2π)=sin 2x,则f(x)+f(2π)=sin 2x+sin 4π=sin 2x,即有f(x+2π)=f(x)+f(2π)成立,所以存在ω=2,φ=0使函数f(x)具有性质P.
(3)设函数f(x)具有性质P,且在区间[0,2π]上的值域为[f(0),f(2π)].函数g(x)=sin(f(x)),满足g(x+2π)=g(x),且在区间(0,2π)上有且只有一个零点.求证:f(2π)=2π.
由函数f(x)具有性质P及(2)可知,f(0)=0,由g(x+2π)=g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数,则g(2π)=g(0),即sin(f(2π))=sin(f(0))=0,所以f(2π)=kπ,k∈Z;由f(0)=0,f(2π)=kπ以及题设可知,函数f(x)在[0,2π]的值域为[0,kπ],所以k∈Z且k>0;当k>2,f(x)=π及f(x)=2π时,均有g(x)=sin(f(x))=0,
这与g(x)在区间(0,2π)上有且只有一个零点矛盾,因此k=1或k=2;当k=1时,f(2π)=π,函数f(x)在[0,2π]的值域为[0,π],此时函数g(x)的值域为[0,1],而f(x+2π)=f(x)+π,于是函数f(x)在[2π,4π]的值域为[π,2π],此时函数g(x)的值域为[-1,0],函数g(x)=sin(f(x))在当x∈[0,2π]时和x∈[2π,4π]时的取值范围不同,与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾,故k=2,即f(2π)=2π,命题得证.
解决三角函数新定义问题的思路(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义;(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中;(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
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