2026届高三数学二轮复习课件：板块一　三角函数与平面向量　微专题6　与平面向量有关的最值、范围问题（含解析）

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1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,多以小题形式考查,难度中档; 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.
如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,则B(1,0),D(0,2),C(1,2),直线BD的方程为y=-2x+2,
以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
以圆心为原点,A7A3所在直线为x轴,A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
热点一　向量模的最值、范围
热点二　向量数量积的最值、范围
热点三　向量夹角的最值、范围
热点四　向量系数的最值、范围
以AC所在直线为x轴,以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
求向量模的范围或最值常见方法:(1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法.
(2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的最小值为　　　　. 
向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断.(2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
取AB的中点D,连接CD,OD,
1.解答本题的关键是确定动点B的轨迹后,数形结合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题.2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间的关系.
如图所示,以A为原点,建立平面直角坐标系,
依题意,设a,b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,
由题意知点O为BD的中点,
如图所示,建立直角坐标系.
由题意设A(a,0),B(0,b),其中0≤|a|≤2,0≤|b|≤2,|AB|=2,即a2+b2=4,令a=2cs θ,b=2sin θ,所以A(2cs θ,0),B(0,2sin θ),
又cs ∠BCD∈(-1,1),所以1-1×2cs ∠BCD=1-2cs ∠BCD∈(-1,3).