福建省2025中考数学第四章三角形第十九课时等腰三角形教材梳理课件人教版（2024）（含答案）

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(一)等腰三角形的性质与判定
常见结论：1. 等腰三角形两腰上的高相等.
2. 等腰三角形两腰上的中线相等.
3. 等腰三角形的两底角平分线相等.
4. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.
5. 等腰三角形顶角的邻补角的平分线与底边平行.
(1)若∠A＝110°，则∠C＝______；(2)若∠A＝80°，则∠C＝__________________；(3)若△ABC的两边长分别是3和6，则它的周长为____. 2. 在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______三角形.
20°或80°或50°
(二)等边三角形的性质与判定
3. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，则∠ABD＝____°，AD与BC的数量关系为____________________________.
4. 在△ABC中，AB＝AC＝1 cm，当BC＝__cm时，△ABC是等边三角形.
考点1　等腰三角形的性质与判定[8年9考]例1：如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于 [2020福建4分]( )A. 10B. 5C. 4D. 3
例2：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转90° 得到△DEC，连接BE，则∠BED的度数为 [2024厦门思明区一模4分]( )A. 45°B. 30°C. 22.5°D. 15°
例3：如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则∠ABE＝____°. [2023莆田霞林学校一模4分]
例4：在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，1)和(－2，2)，以AB为腰作等腰三角形ABC，若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴，则点C的坐标为________________. [2023厦门思明区三模4分]
(－4，1)或(2，2)
例5：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若DE∥AB交AC于点E，求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠CAD＝∠ADE，即∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形.
例6：如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，BC＝7，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF平行于BC，分别交AB，AC于点E，F. (1)求证：△DFC是等腰三角形；
证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB. ∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∴∠ACD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形.
(2)求△AEF的周长.
解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED. 由(1)知FC＝FD. ∵△ABC的周长为18，BC＝7，∴AB＋AC＝18－7＝11. ∴AE＋BE＋AF＋CF＝11，∴AE＋DE＋AF＋DF＝11，即AE＋AF＋EF＝11，即△AEF的周长为11.
考点2　等边三角形的性质与判定[8年4考]例7：如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，得CE＝CD，则∠E＝____°， BE的长为__，△ABC的面积为_____. [2024福州三模改编]
【变式题】如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝______.
例8：如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑物A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB＝___米.
【变式题】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，则BE的长为___.
例9：【一题多问】如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，M，N分别从点A，B同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动. 已知点M的运动速度为1 cm/s，点N的运动速度为2 cm/s. 当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动. 设运动时间为t(t＞0)s.
(1)当t＝____s时，M、N两点重合；(2)当t＝___s时，△AMN为等边三角形；(3)当t＝__________s时，点M、N与△ABC中的某一顶点构成等腰三角形.
例10：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC. ∵AD＝BE＝CF，∴AC－CF＝AB－AD，即AF＝BD.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )A. 70°B. 100°C. 110°D. 140°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长为___.
3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为______.
4.如图，已知等边三角形ABC，O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE＋OF 的值为___.