2025年山东中考数学一轮复习课题3：勾股定理 练习题（含答案+解析）

这是一份2025年山东中考数学一轮复习课题3：勾股定理 练习题（含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，4，6B. 4，6，8C. 3，4，5D. 4，5，6
2.如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是( )
A. 从点P向北偏西45°走3km到达l
B. 公路l的走向是南偏西45°
C. 公路l的走向是北偏东45°
D. 从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
3.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25.其中直角三角形有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB =90∘，已知AB=2.5m，AC=2m，则BC的长为( )
A. 1.5mB. 2mC. 2.5mD. 3m
5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB=13里，BC=14里，AC=15里，则△ABC的面积是( )
A. 80平方里B. 82平方里C. 84平方里D. 86平方里
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=6，AC= 8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是( )
A. 365B. 245C. 9D. 6
7.如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A. 3 1+π
B. 3 2
C. 3 4+π22
D. 3 1+π2
8.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为( )
A. 254cm
B. 152cm
C. 7cm
D. 132cm
9.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 47B. 62C. 79D. 98
二、填空题：
10.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．
11.《周礼⋅考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zℎú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘=112宣(其中，1矩=90°)．
问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= ______度.
12.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4，b=2，则矩形ABCD的面积是 ．
13.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为______．
14.一只蚂蚁从棱长为4cm正方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它的最短路线的长是______cm．
15.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
16.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 ．
17.古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_______________．
18.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑2m，那么梯子的底端向外滑动______米.
19.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺.则AC的长度为______尺.
20.如图，学校操场边上有一块四边形空地ABCD，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，∠ADC=∠DAE=∠DCE=90°，CD=8m，AD=6m，BC=24m，AB=26m，那么需要绿化部分的面积为______．
21.如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则∠α+∠β= ．
三、解答题：
22.某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图.测得AC长为3 22km，CD长为34( 2+ 6)km，BD长为32km，∠ACD=60°，∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内)．
(1)求A、D两点之间的距离；
(2)求隧道AB的长度．
23.如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处，AE是折痕．已知AB=6cm，BC=10cm，求CE的长．
24.在本节“史海漫游”中，提到丢番图的一个结论：设m>n，m，n都是正整数，(m2−n2,2mn,m2+n2)是一个勾股数组．
(1)验证这个结论当m=3，n=2时是正确的；
(2)证明丢番图结论的正确性．
25.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=5，BD=3，AD=4，且△ABC的周长为18，求AC的长和△ABC的面积．
26.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1km，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
27.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
28.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边．
(1)如图1，已知a=7，c=25，求b．
(2)如图2，已知c=25，a:b=4:3，求a，b．
29.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)
则：a2+b2+c2+d2=______；
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2+4=6，故不能构成三角形，故不符合题意；
B、42+62≠82，故不是直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，故是直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，故不是直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
2.【答案】A
【解析】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB=6 2km，
则PC=3 2km，
则从点P向北偏西45°走3 2km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
3.【答案】B
【解析】解：(1)∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角=12×180°=90°，是直角三角形；
(2)三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角=53+4+5×180°=512×180°n，m，n都是正整数，
∴m2−n2，2mn，m2+n2都是正整数，且m2+n2的值最大。
‘∵(m2−n2)2=m4−2m2n2+n4，(2mn)2=4m2n2，(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，
∴(m2−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2。
∴当m>n，m，n都是正整数时，(m2−n2,2mn,m2+n2)是一个勾股数组。

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】解：∵32+42=52，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵△ABC的周长为18，
∴AC+CD=18−5−3=10，
设CD=x，则AC=10−x，
在Rt△ADC中，AD2=AC2−CD2，
∴42=(10−x)2−x2，
∴x=4.2，
∴AC=10−x=5.8，
△ABC的面积=12BC·AD=12×(3+4.2)×4=14.4．
∴AC=5.8，△ABC的面积为：14.4．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形周长和面积的计算.熟练掌握勾股定理，熟练应用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
通过计算得出BD2+AD2=AB2，由勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理求出CD，得出AC，即可求出△ABC的面积．
26.【答案】解：(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，
∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，
∴AC= AB2+BC2=10 2≈14.1(km)．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAM=60°−45°=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．
(1)由题意得∠ABC=90°，由勾股定理，从而得出AC的长；
(2)由∠CAM=60°−45°=15°，则C点在A点北偏东15°的方向上．
27.【答案】解：(1)根据勾股定理：
梯子顶端距离地面的高度为： 252−72=24(米)；
(2)梯子下滑了4米，
即梯子顶端距离地面的高度为：24−4=20(米)，
根据勾股定理得：25= 202+(7+CC′)2，
解得C′C=8米．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【解析】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
(1)利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
(2)由(1)可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出下滑后梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
28.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，
∴a2+b2=c2，
∵a=7，c=25，
∴b2=252−72=576，
∵b>0，
∴b=24;
(2)∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，
∴a2+b2=c2，
∵a:b=4:3，
∴设a=4x，则b=3x，
∴(4x)2+(3x)2=252，
∴x=5，
∴a=20，b=15．
【解析】本题考查勾股定理，解题的关键能弄清直角三形三边的对应关系准确运用勾股定理．
(1)根据勾股定理计算即可；
(2)设a=4x，则b=3x，根据勾股定理解答即可．
29.【答案】解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．)
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2=12ab×4+(b−a)2，
化简得：a2+b2=c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即(a+b)2=c2+12ab×4，
化简得：a2+b2=c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，
化简得：a2+b2=c2．
(2)①3；
②结论：S1+S2=S3．
∵S1+S2=12π(a2)2+12π(b2)2+S3−12π(c2)2，
∴S1+S2=18π(a2+b2−c2)+S3，
∵a2+b2=c2．
∴S1+S2=S3．
(3)m2．
【解析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．
(1)①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
②在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2=c2.在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2=c2.在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a2+b2=c2．
(2)①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个；
②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2=S3．
(3)根据勾股定理即可得a2+b2+c2+d2=m2．