初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）4.4 等腰三角形随堂练习题

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）4.4 等腰三角形随堂练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.一个菱形ABCD 的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则下列关于该菱形的说法错误的是（ ）
A . 另一条对角线长为 103 cm
B . 有一组对角的大小为60°
C . 面积为1003cm2
D . 任意一边上的高均为 53 cm
2.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE ∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A . 10 B . 7 C . 5 D . 4
3.如图，过点D分别作 DE⊥AB,DF⊥AC ， 垂足分别为点E，F，且 DE=DF ， 连接 EF与 AD相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ）
A . OE=OF B . AE=AF C . OD=OF D .∠EAD=∠FAD
4.如图， △ABC中， ∠ACB=90° ， ∠CAB=60° ， D为边 BC上一点，且 AD平分 ∠CAB ， 若 CD=1 ， 则 BC的长是（ ）
A . 2 B . 32 C . 3 D .52
5.列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A . 5 B . 12 C . 14 D . 16
6.如图，在边长为1的小正方形网格中，若 △ABC和 △CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则 ∠ACB+∠DCE=（ ）
A . 75° B . 90° C . 120° D .135°
二、填空题
1. 我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1 ， 又由△A1复制出△A2 ， 再由△A2复制出△A3 ， 形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为 ________ ．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有 ________ 个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是 ________ ；
（3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．
2.写出命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题 ________ ．
3.师大一中准备办自己的农场，如果设计成等腰三角形的样子，要求等腰三角形的一边长为20，面积为 160，则该等腰三角形的周长为 ________
4.如图，点C在直线AB上，按如下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交AB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于 12DE的长为半径作圆弧，两弧相交于点F；③作直线CF，连结DF、EF．若∠FDC=50°，则∠CFE的大小为 ________ 度．
5.《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线 l1:y=12x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线 l2:y=x于点 O1 ， 过点 O1作y轴的平行线交直线 l1于点 A1 ， 以此类推，令 OA=a1 ， O1A1=a2 ， …， On−1An−1=an ， 则 △A2024A2025O2025的面积 = ________ ．
6.已知：在四边形 ABCD中， AC ， BD相交于点 E ， 且点 E是 AC的中点， AC⊥BD ， 过点 B作 BF⊥CD ， 垂足为点 F ， BF与 AC交于点 G ， ∠ABC=90° ， 若 AC=8 ， △BCG的面积为 3 ， 则四边形 ABCD的面积为 ________ ．

7.直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 ________ 个.
8.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= ________ 时，△AOP为等边三角形．
三、作图题
1.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
2.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，现以点A、B、C、D、E这5个格点中的3点为顶点画三角形．
（1） 在图①中画一个等腰三角形，要求顶角不是直角；
（2） 在图②中画一个直角三角形，要求两直角边不相等；
（3） 在图③中画一个等腰直角三角形．
3.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
4.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
5.如图，已知∠α和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α。
四、综合题
1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB.以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上.
（1） 求∠DGF的大小；
（2） 求证：△FDG≌△EFC；
（3） 如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积.
2.已知一次函数y＝kx+b与反比例函数 y=mx 的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点.
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 求△AOB的面积；
（3） 直接写出不等式 mx>kx+b 的解集.
（4） 点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.
3.已知关于x、y的方程组 {ax+2y=14x+y=4与 {x−y=2x+by=13的解相同．
（1） 求a、b的值；
（2） 如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长．
4.已知，在等边 △ABC中，点 D是射线 AC上一点，连接 DB ．
（1） 如图1， CD=3AD=1 ， 请求解线段 BD的长；
（2） 如图2，点 D在线段 AC上，若点 E为 BC延长线上一点，满足 AD=CE ， 连接 DE ， 将线段 DE绕点 D逆时针旋转 60°得到线段 DP ， 连接 BP ， EP ， 用等式表示线段 BP、 AD之间的数量关系，并证明；
（3） 在（2）条件下，点 D是线段 AC延长线上一点，若 △BEP为等腰三角形时，请直接写出 ADAC的值．
5.在Rt△ ACB中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC ， D为 AB上一点，连结 CD ， 将 CD绕 C点逆时针旋转90°至 CE ， 连结 DE ， 过 C作 CF⊥ DE交 AB于 F ， 连结 BE ．
（1） 求证： AD＝ BE；
（2） 求证： AD 2+ BF 2＝ DF 2；
（3） 若∠ ACD＝15°， CD＝ 3 +1，求 BF ．
五、解答题
1.在平面直角坐标系中， △ABC是等腰直角三角形，且 ∠ACB=90° ， AC=BC ， 顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1） 如图1，已知点 A0,−2 ， C1,0 ， 点B在第四象限时，求点B的坐标．
（2） 如图2，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上， BC边交y轴于点D， AB边交x轴于点E，若 AD平分 ∠BAC ， 点B坐标为 m,n ． 请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ， 到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ， 点D的坐标为 ．
2.已知 AD为等边 △ABC的角平分线，动点 E在直线 AD上（不与点 A重合），连接 BE ． 以 BE为一边在 BE的下方作等边 △BEF ， 连接 CF ．
（1） 如图1，若点 E在线段 AD上，且 DE=BD ， 则 ∠CBF=______度．
（2） 如图2，若点 E在 AD的反向延长线上，且直线 AE ， CF交于点 M ．
①求 ∠AMC的度数；
②若 △ABC的边长为 4 ， P ， Q为直线 CF上的两个动点，且 PQ=5 ． 连接 BP ， BQ ， 判断 △BPQ的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
3.已知a， b， c为 △ABC的三边长， 若a， b满足 a−6+b2−8b+16=0 ，
（1） 求c的取值范围．
（2） 若c是整数，且 △ABC为等腰三角形，求 △ABC的周长．
4.货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离.
六、阅读理解
1.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．
2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
3.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．