苏科版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的概念一课一练

这是一份苏科版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的概念一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）
A .x=2yx+2=2y+2
B .x=2yx-2=2y-2
C .x=3yx+2=2y+2
D .x=3yx-2=2y-2
2.某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x辆车，共有y名学生．则根据题意列方程组为（ ）
A .45x-35=y60(x-2)=y-35
B . 45x=y-3560(x-2)+35=y​
C .45x+35=y60(x-1)+35=y
D .45x=y=35y-60(x-2)=35
3.如果2x 3﹣m=y是二元一次方程，则m是（ ）
A . 2 B . 3 C . 4 D . 1
4.下列方程：①2x﹣ y3=1；② x2+ 3y=3；③x 2﹣y 2=4；④5（x+y）=7（x+y）；⑤2x 2=3；⑥x+ 1y=4，其中是二元一次方程的是（ ）
A . ① B . ①④ C . ①③ D . ①②④⑥
5.下列给出的方程中，是二元一次方程的是（ ）
A . xy=5 B . 6x=5y C . x+ 1y =6 D . 4x+y2=6
6.下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A .3x−y=22x+3y=1
B .3x−2y=2xy=1
C .2x−y=5−3+2y=4
D .4x−3y=23x+2z=5
7.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（ ）
A .5x+3y=50+211x+5y=90×0.9
B .5x+3y=50+211x+5y=90÷0.9
C .5x+3y=50-211x+5y=90×0.9
D .5x+3y=50-211x+5y=90÷0.9
二、填空题
1.对于有理数 a、 b定义新的运算： a ⊗ b=a+b ， a⊕b=a−b ， 若 a ⊗ 2b=4 ， a⊕b=−5 ， 则 (a+b)2023的值为 ________ ．
2.已知a为常数，若三个方程x﹣y=1，2x+y=5，ax+y=2的解相同，则a的值为 ________
3.已知|x+y﹣2|+（x﹣2y） 2=0，则x= ________ ，y= ________ ．
4.某中学八年级（3）班共有40名学生，在一次活动课上要把全班同学分成若干个小组，若每个小组只能有5人或6人，则符合要求的分组方案共有 ________ 种．
5.某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双，今年甲种鞋卖出的量比去年去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双．求去年甲，乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种球鞋卖了x双，乙两种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为 ________ ．
6.写出一个二元一次方程，使其满足x的系数是大于2的自然数，y的系数是小于﹣3的整数，且x=2，y=3是它的一个解． ________
7.正数a的两个平方根是方程 3x+2y=2 的一组解，则a＝ ________ .
8.如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为 a ， 则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ________ ．（用含 a的式子表示）
9.定义一种新的运算： a☆b=2a−b ， 例如： 3☆(−1)=2×3−(−1)=7.若 a☆b=0 ， 且关于x，y的二元一次方程 (a+1)x−by−a+3=0 ， 当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ________ .
三、计算题
1.暑假期间，部分同学准备开展社会实践活动，决定外出调研某名胜风景点的环境污染情况，为此需在风景点周边住一晚．某旅店只有二人间和三人间两种房型，二人间每晚需50元，三人间每晚需60元，并且二人间的数量不超过9间，三人间比二人间的房间数要少．有同学计算了一下，如果只住二人间，则还有5人无房可住，如果只住三人间，则只剩下1人没地方住．
（1） 参加此次活动的同学有多少位？
（2） 同学们此次住宿花费了430元，请你算算，同学租住的二人间和三人间各是多少？
2.如图，在平面直角坐标系中，点A（ a ， 0）在 x轴负半轴上，点C（2，0）在 x正半轴上，点B（0， b）在 y轴正半轴上，并且 a、 b是方程组 a+b=−23a+5b=6的解，连接AB、BC.
（1） a=________， b=________；
（2）经过计算AB=10，动点M从点A出发，沿射线AB以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接MC，设点M的运动时间为t（t>0）秒，用含t的式子表示△BCM的面积S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点N在线段BC上，且BN=2CN，连接MN.当三角形BMN的面积为8时，求t值，并直接写出点M的坐标.
3.解下列方程组：
（1）{3x−2y=62x+3y=17
（2）{3(x+y)−4(x−y)=6x+y2−x−y6=1
四、综合题
1.阅读运用：
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
例如：2x+m=4，那么如何解这样的方程呢？实际上，我们可以把m当作常数，解出方程，
解得：2x=4﹣m．
x= 4−m2 ，
请仿照上面的解法解答下列问题：
（1） 解关于x，y的二元一次方程组 {5x+2y=5a7x+4y=4a ，
（2） 若关于x，y的二元一次方程组： {5x+2y=5a7x+4y=4a 的解满足不等式组 {2x+y−9 ，求出整数a的所有值．
2.在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
（1） 周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
（2） 悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清．
3.用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可装10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可装11吨。某物资公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物。
根据以上信息，解答下列问题。
（1） 1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2） 请你帮助物流公司设计租车方案。
（3） 若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次。请选择最省钱的租车方案，并求出最少租车费。
4.面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫因地区捐赠了一批消毒液.现要将消毒液运往该区.已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨.现有消毒液19吨.计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液.
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2） 请你帮我们设计租车方案；
（3） 若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
5.我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
（1） 若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
（2） 因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
（3） 若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
五、解答题
1.为了提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了 A、B两种净水器共160台， A型净水器的进价是每台150元， B型净水器的进价是每台350元，购进两种净水器共用去了36000元．
（1） 求 A、B两种净水器各购进了多少台？
（2） 为使每台 B型净水器的利润是 A型净水器的2倍，且保证售完这160台净水器的利润不低于11000元，求每台 A型净水器的售价至少是多少元？
2.若平面直角坐标系上点 Px,y的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点 N2,1为方程组 2x−y=3x+y=3的关联点．
（1） 若点 E1,2为关于x，y的方程组 7x−2y=a2x−by=2的关联点，则 a=________， b=________；
（2） 已知点 Ax,y为关于x，y的方程组 7x+2y=12x−y=3m−2的关联点，点 Bx,y为关于x，y的方程组 2x+y=−n+3x−2y=7的关联点；若点A与点B重合，求点A的坐标，并求出m，n的值．
3.马虎与粗心两位同学解方程组 mx+2y=63x-ny=12时，马虎看错了m解方程组得 x=2y=-32；粗心看错了n解方程组得 x=1y=12；
试求：（1）常数m、n的值；
（2）原方程组的解．
4.已知a∈R，试判断方程（a﹣1）x+y=3是什么方程．
5.给出定义：对于关于 x、 y的二元一次方程 ax+by=c（其中 ），若将其 x的系数 a与常数 c互换，得到的新方程 cx+by=a称为原方程 ax+by=c的“镜像方程”．例如方程 5x+6y=8的“镜像方程”为 8x+6y=5 ．
（1） 写出 3x−2y=−1的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____；
（2） 若关于 x、 y的二元一次方程 7x+my=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为 x=my=n ， 求 m+n的值．
（3） 若关于 x、 y的二元一次方程 ax+by=c的系数满足 a+b+c=0 ， 且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于 x、 y的二元一次方程 mx−ny=pm≠n的一个解，请 直接写出代数式 mn−m+pp−n+52的值．
六、阅读理解
1.阅读理解：
在数学课上，李老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组 {x+3y=−13x+y=5 ， 求 x+y的值？
小红：把方程组解出来，再求 x+y的值．
小刚：把两个方程直接相加得 4x+4y=4方程两边同时除以 4解得 x+y=1 ．
李老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小刚”同学的思路体现了数学中【整体思想】的运用．
请你参考小红或小刚同学的做法，解决下面的问题．
（1） 已知关于 x、 y的方程组 {2x+y=2a+1x+2y=5−5a的解满足 x+y=−3 ， 求 a的值．
（2） 运用【整体思想】解答：
若方程组 {ax+y=bx−by=a的解是 {x=1y=1 ， 求 (a＋b)2-(a−b)(a+b)的值．
2.阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组{19x+18y=17①17x+16y=15②
我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
①﹣②，得2x+2y=2，即x+y=1 ③
③×16，得16x+16y=16 ④
②﹣④得x=﹣1，从而y=2
所以原方程组的解是{x=−1y=2
（1） 请你用上述方法解方程组{7x+11y=1513x+17y=21
（2） 试猜测关于x、y的二元一次方程组 {(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b （a≠b）的解是什么？并加以验证．
3.阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得y =12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y＝4 −23x为正整数，则 23x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4 −23x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为 {x=3y=2问题：
（1） 请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ；
（2） 若 6x−3为自然数，求出满足条件的正整数x的值；
（3） 关于x，y的二元一次方程组 {x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值．