初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形教学ppt课件

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正方形的判定R·八年级数学下册四边形学习目标1. 掌握正方形的判定方法．2. 巩固对各种特殊平行四边形性质与判定的掌握， 培养对知识的综合运用能力．复习回顾探索新知 王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾. 你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？【选自教材第78页 练习 第3题】活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.正方形猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？一组邻边相等对角线互相垂直尝试证明对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO.又∵AC⊥DB，∴AB=BC.∴四边形ABCD是正方形.活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？一个角是直角对角线相等尝试证明对角线相等的菱形是正方形.已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，∴四边形ABCD是正方形.归纳总结▶正方形判定的几条途径：练 习1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.解：分别满足条件（1）（2）（3）（4）的四边形都是正方形.【选自教材第78页 练习 第1题】2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB， DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 CEDF 是正方形.证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴∠DEC = ∠DFC = 90°.又∠ACB = 90°，∴四边形 CEDF 是矩形.∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴DF = DE .∴矩形 CEDF 是正方形.【选自教材第78页 练习 第2题】 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.例 6证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .∴HE = EF = FG = GH .∴四边形 EFGH 是菱形 .∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.∴四边形 EFGH 是正方形 .1. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又 EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE = ∠BGE = 90°，∴四边形 EFBG 是矩形．∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG，∴矩形 EFBG 是正方形．2. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.证明: ∵四边形 AECF 是菱形，∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，∴四边形 ABCD 是平行四边形．又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形．∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．∴四边形 ABCD 是正方形．3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．（1）求证：BE=CM；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM．在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.求证：四边形AEFN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．∵AE=EF，∴EF=AN．∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，∴四边形AEFN是平行四边形．∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．课堂小结正方形矩形菱形三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角且一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等