第九章 第32讲 第1课时 广东中考数学真题——综合与实践-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第四部分综合与实践第九章 　综合与实践第32讲　综合与实践《义务教育数学课程标准(2022 年版)》P16－17：义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成.综合与实践，重在解决实际问题，以跨学科主题学习为主，初中阶段可采用项目式学习.因此，综合与实践属于新课标第四部分内容，是学习和考试的组成部分之一.本部分分为 3 个课时，依次从广东真题、教材素材(含新教材)、跨学科实践等方面，加深对综合与实践题目的认识，熟悉此类题型的考法.第1课时广东中考数学真题——综合与实践广东中考数学连续三年考查“综合与实践”的相关内容[2025年第 21 题、2024 年第 21 题、2023 年第 20 题(见本书 P79)]，这是新课标所要求的.下表是对这三年试题在四个领域中分值占比的统计，可以看出新增的“综合与实践”的分值是比较多的，这个也是今后广东中考的趋势之一.相比 2023 年，2024、2025 年“综合与实践”的整体难度有所提升，考法也更加灵活多变.因此，正在复习的考生们需要多多练习这样的题型.1.(2025 广东，21，9 分)综合与实践.【阅读材料】如图 1，在锐角△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为 a，b，c，则有asin A＝bsin B＝csin C.这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中 A，B 两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究.【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).测量过程：步骤 1：如图 2，在空旷地找一点 C；步骤 2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；步骤 3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341 m，AC≈388.5 m.【问题解决】(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算 A，B两岛间的距离；(参考数据：sin 43°≈0.682，sin 51°≈0.777，sin 86°≈0.998)【评价反思】(2)设计其他方案计算 A，B 两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.解：(1)∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C＝180°－∠A－∠B≈180°－43°－51°＝86°，又∵BC≈341 m，答：A，B 两岛间的距离约为 499 m.(2)测量方案一：步骤 1：如图 1，在空地上找一点 D，利用测角仪多次测量并取平均值测得∠D≈90°；步骤 2：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BD，AD 长度；步骤 3：用勾股定理求出 A，B 两岛的距离.测量方案二：步骤 1：如图 2，在空地上找一点 E；步骤 2：利用测距仪多次测量并取平均值，测出 AE，BE 长度；步骤 3：延长 AE 至点 A′，延长 BE 至点 B′，利用测距仪多次 步骤 4：利用测距仪多次测量并取平均值，测出 A′B′；步骤 5：用三角形相似求出 A，B 两岛的距离.2.(2024 广东，21，9 分)综合与实践.【主题】滤纸与漏斗.【素材】如图 1 所示；①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.【实践操作】步骤 1：取一张滤纸；步骤 2：按如图 2 所示步骤折叠好滤纸；步骤 3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图 1 所示的漏斗中.【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明；(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π).滤纸折叠或圆锥后母线CD＝CE＝ ×10＝5(cm)，∵滤纸围成圆锥的底面周长＝ ×10π＝5π(cm)，解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：方法一：如图作出示意图，由题意知 AB＝AC＝BC＝7 cm，∴DE·π＝5π，∴DE＝5 cm，∴△CDE∽△CAB，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.方法二：由折叠可知，滤纸围成圆锥的侧面展开的扇形角度n1＝90°×2＝180°，∴漏斗圆锥侧面展开的扇形角度n2＝180°，∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.(2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm，∴∠CDE＝60°，第2课时教材中的综合与实践(含新教材)1.(素材链接：新教材人教 7 上 P63)综合与实践.某校九年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几；②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法.十进制数一般不标注基数；③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.规定当a≠0时，a0＝1.如：3 721＝3×103＋7×102＋2×101＋1×100；(421)7＝4×72＋2×71＋1×70.【解决问题】(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数.例如图 1 表示的是孩子出生后 30 天时打绳结的情况(因为：4×71＋2＝30)，那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天；【解析】1×73＋3×72＋2×7＋6＝343＋147＋14＋6＝510(天)，即孩子出生后的天数为 510 天.【答案】 510(1110)2(3)小华设计了一个 n 进制数 265，换算成十进制数是 145，求n 的值(n 为正整数).解：由题意得2n2＋6n＋5＝145，解得 n＝7 或 n＝－10(舍去).∴n＝7.(2)类比十进制加减法计算(结果保留二进制).例如(11011)2＋(1101)2＝(101000)2；写出(11011)2－(1101)2＝________；　　2.(素材链接：新教材人教 8 上 P23)综合与实践.【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心.【素材】厚度均匀的硬纸板(三角形、矩形、正方形、不规则形状)、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等.【实践操作】步骤 1：如图 1，用细棉线系住小孔 A 将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出沿细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线 AB；步骤 2：如图 2，用细棉线系住另一个小孔 C 将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线 CD，作用线 AB 与作用线 CD 的交点 O 即为硬纸板的重心.【实践探索】(1)根据实践操作步骤，画出图 2 中不规则形状硬纸板的重心O.解：如图 1，重心 O 即为所求.图 1(2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实.如图 3，在△ABC 中，AF，BE，CD 分别是△ABC 的三条中线，点 G 是△ABC 的重心.①若△ABC的面积是6，则△ABG的面积是________；2 【解析】∵在△ABC中，AF，BE，CD分别是△ABC的三条中线，点 G 是△ABC 的重心，∴BF＝CF，CE＝AE，AD＝BD，∴S△ABF＝S△ACF，S△BGF＝S△CGF，∴S△ABF－S△BGF＝S△ACF－S△CGF，∴S△ABG＝S△ACG，同理可得S△ABG＝S△CBG，∴S△ABG＝S△ACG＝S△CBG，②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的 2 倍，请用你所学的数学知识进行证明.证明：如图 2，连接 DE，图 2∵BE，CD 是△ABC 的中线，∴AE＝CE，AD＝BD，∴DE 是△ABC 的中位线，∴△DEG∽△CBG，∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的 2 倍.3.(素材链接：新教材北师 8 下)综合与实践.【活动驱动】某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，计划在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度.为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，研究如何购买这批物资性价比更高.【方案实施】同学们走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案：方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用 y1 与购买的垃圾箱个数 x(个)满足如图 1 所示的函数关系；方案二：租赁机器自己加工，所需费用 y2(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与生产的垃圾箱个数 x(个)满足如图 2 所示的函数关系.15020 00050【问题解决】(1)①方案一中每个垃圾箱的价格是________元；②方案二中租赁机器的费用是________元，生产一个垃圾箱的费用是________元.(2)请分别求出 y1，y2 关于 x 的函数关系式.(3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠.∴当 x＜200 时，选择方案一更优惠；当 x＝200 时，两种方案费用一样；当 x＞200 时，选择方案二更优惠.解：(2)设y1＝ax，把(100，15 000)代入得15 000＝100a，∴a＝150，∴y1＝150x.设y2＝kx＋b，把(0，20 000)和(100，25 000)代入得(3)当y1＜y2，即150x＜50x＋20 000时，解得x＜200；当y1＝y2，即150x＝50x＋20 000时，解得x＝200；当y1＞y2，即150x＞50x＋20 000时，解得x＞200.4.(素材链接：新教材人教 9 上)项目式学习.【项目主题】高铁建设与运营中的数学挑战.【理解与计算】(1)如果高铁列车的最高速度 v＝100 米/秒，加速度a＝0.5米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t＝________秒；200(2)在(1)的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程 d 为多少千米？【设计与分析】(3)假设距某站台 2 千米有一辆高铁正以 180千米/时的速度驶来，由于前方道路出现紧急情况，列车需临时停车，若减速度a＝－0.5米/秒2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法.解：(2)由(1)知v0＝0，t＝200，a＝0.5， ∵10 000 米＝10 千米，∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程 d 为 10 千米.(3)不能，分析如下：∵v＝0，v0＝180千米/时＝50米/秒，a＝－0.5米/秒2，＝2 500(米)＝2.5(千米)，∵2.5 千米＞2 千米，∴列车不能安全停车.想法：列车不能在 2 千米内完成停止，存在安全隐患，乘客应在黄色安全线之外，保证自身与列车安全.(答案不唯一)5.(素材链接：新教材北师 9 下)综合与实践.【主题】小空间检测视力问题.【具体情境】请你协助小明完成对某班学生视力进行检测的任务.【现有条件】一张测试距离为 5 米的视力表，一间长为 3.8米，宽为 3.6 米的空书房.(1)如图 1，若将视力表挂在墙 CDGH 上，在墙 ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙 ABEF 的________米处.1.2【解析】∵5－3.8＝1.2(米)，∴测试线应画在距离墙 ABEF 的 1.2 米处.【问题解决】(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值 V 和该行字母 E 的宽度 a 之间的关系是一种函数模型，字母 E 的宽度 a 如图 2 所示，视力表上部分视力值 V 和字母 E 的宽度 a 的部分对应数据如表所示：①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型描述视力值 V 与字母 E 的宽度 a 的关系(说明理由)，并求出视力值 V 与字母 E 宽度 a 之间的函数关系式.②小明在制作过程中发现某行字母 E 的宽度 a 的值 17.5 mm，请问该行对应的视力值 V 是多少？解：(2)①∵视力值 V 与字母宽度 a 的乘积是定值 7，∴视力值 V 与字母宽度 a 成反比例函数关系.∴该行对应的视力值 V 是 0.4.新课标(P77)综合与实践领域指出：“在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容……”因此，我们重点从以上几个主题对教材素材进行统计(如下表)，并精选典型素材设计综合与实践的练习.主题一：方程与不等式1.(教材素材：填幻方)综合与实践.【主题】探索神奇的幻方.【阅读】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图 1).“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图 2).三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1 至 9，数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等.【实践】(1)根据“洛书”中表达的意思，求图 2 的三阶幻方中 x，y 的值；【提升】(2)改变图 2 幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方(如图 3)，且每行、每列和每条对角线上的数字和与变化前都相等，请求出这个新的三阶幻方中 a，b，c 的值；【拓展延伸】(3)如图 4 有 3 个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”.将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，10，12 这 12 个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的 4 个顶点处“○”中的数的和都为 2，请求出 mn 的值.解：(1)∵每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，∴x＋5＋1＝2＋7＋6，4＋y＋8＝2＋7＋6，解得 x＝9，y＝3.(2)由(1)知，每行、每列和每条对角线上的数字和为 15，∴a＝15－2－7＝6，b＝15－9－1＝5，c＝15－3－8＝4.(3)如图，将两个空圆圈里的数分别记为 k，t，∵正方形的 4 个顶点处“○”中的数的和都为 2，∴m＝2－(4＋2－3)＝－1，k＝2－(8－7－5)＝6，∵12－9＋t＋n＝2，∴t＋n＝－1，∵填入的数字不重复，∴t＝－11，n＝10 或 t＝10，n＝－11，∴mn＝－1×10＝－10 或 mn＝－1×(－11)＝11.∴mn 的值为－10 或 11.主题二：函数2.(教材素材：哪一款手机资费套餐更合适)综合与实践.某校九年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》的实践活动.以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请你将其补充完整.0.25x＋0.50.1x＋29当通话时间为 190 分钟时，两种套餐每月的资费都是 48 元190主题三：图形的变化3.(教材素材：最短路径问题)综合与实践.【问题情境】(1)如图 1，C 为线段BD上一动点，分别过点 B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC.已知 AB＝5，DE＝1，BD＝8.设 CD＝x，用含 x 的代数式表示 AC＋CE 的长；【数学思考】(2)如图 2，在某河道一侧有两家工厂 A，B，它们到河道的距离 AD，BC 分别是 5 km，7 km，两工厂之间的距离 AB 是 7 km.为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 P 抽水，且使得抽水点 P 到两家工厂 A，B 的距离之和最短，求出 PA ＋PB 的最小值；【深入探究】(0≤x≤6)的最小值.解：(1)∵BD＝8，CD＝x，∴BC＝BD－CD＝8－x，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝5，(2)如图 1，作点 A 关于 l 的对称点 A′，过点 A′作 A′E⊥BC 于点 E，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，连接 A′B，图 1则四边形 ADCF，四边形 DA′EC，四边形 AA′EF 都是矩形，PA ′＝PA ，∴PA ＋PB＝PA ′＋PB≥A′B，∴PA ＋PB 的最小值为 A′B，∵AD＝5 km，BC＝7 km，AB＝7 km，∴CE＝A′D＝AD＝FC＝5 km，BE＝BC＋CE＝12 km，BF＝BC－FC＝2 km，在Rt△ABF中，由勾股定理，在Rt△A′BE中，由勾股定理，(3)构造图形如图 2，其中 C 为线段 BD 上一点，分别过点 B，D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC，AE，其中 AB＝6，DE＝2，BD＝6，设 CD＝x，图 2过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，则四边形 BDEF 是矩形，∴EF＝BD＝6，BF＝DE＝2，∵AC＋CE≥AE，长，∴AF＝AB＋BF＝8，在Rt△AEF中，由勾股定理，4.(教材素材：三角形中边与角之间的不等关系)综合与实践.【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边 AC 落在 AB 上，点 C 落在 AB 上为点 D，折线交 BC于点 E，则∠C＝∠ADE，∵∠ADE＞∠B，∴∠C＞∠B.这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角更大.从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形可将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法.【类比探究】“在三角形中，大角对大边”.(1)如图 2，在△ABC 中，∠C＞∠B，判断：AB_______AC(填“＞”“＜”或“＝”)；＞【进阶思考】(2)如图 3，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，AE，CD分别为∠BAC，∠ACB的角平分线，求证：CD＋AD＝AC＋CE；【拓展运用】(3)如图 4，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，且∠ACB＝∠CDA＞90°，比较 CD＋AB 和 CA＋CB 的大小关系，并说明理由.(2)证明：延长 AC 至点 F，使得 AF＝AB，连接 EF，如图所示，∵∠ACB＝2∠B，AE，CD 分别为∠BAC，∠ACB 的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∠B＝∠DCB＝∠ACD，∴BD＝CD，∴△BAE≌△FAE(SAS)，∴∠F＝∠B＝∠DCB＝∠ACD，∴∠CEF＋∠F＝∠ACB＝2∠F，∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF，∴CD＋AD＝BD＋AD＝AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CE，即 CD＋AD＝AC＋CE.(3)解：CD＋AB＞CA＋CB，理由如下：∵∠ACB＝∠CDA，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，则AC＝kAD，AB＝kAC，BC＝kCD，∴AB＝k2AD，∴CD＋AB＝CD＋k2AD，CA＋CB＝kAD＋kCD，∴CD＋AB－(CA＋CB)＝CD＋k2AD－kAD－kCD＝(1－k)CD＋k(k－1)AD＝(1－k)(CD－kAD)＝(1－k)(CD－AC).∵∠CDA＞90°＞∠A，∴1－k＜0，∴(1－k)(CD－AC)＞0，即 CD＋AB－(CA＋CB)＞0，故 CD＋AB＞CA＋CB.主题四：图形与坐标5.(教材素材：探究旋转后点的坐标)综合与实践.【问题背景】把点 P(x，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°，点 P 的对应点的坐标分别是什么？为研究这个问题，某综合实践小组开展了如下活动.【搜寻材料】对于直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P，将图形 M 绕点 P 顺时针旋转 90°得到图形 N，图形N称为图形 M 关于点P的“垂直图形”.如图 1，点D为点 C 关于点 P 的“垂直图形”.【活动探究】(1)设点 A 关于原点 O 的“垂直图形”为点 B，①若点 A 的坐标为(0，2)，则点 B 的坐标为_________；②若点 B 的坐标为(2，1)，则点 A 的坐标为_________；【规律总结】(2)点 P(x，y)绕原点顺时针旋转 90°，点 P 的对应点的坐标是___________；(2，0)(－1，2)(y，－x)【拓展应用】(3)如图 2，已知 E(－3，3)，F(a，0)，点 E 关于点 F 的“垂直图形”记为点 E′，求点 E′的坐标(用含 a 的式子表示).解：如图，过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，过点 E′作 E′K⊥x 轴于点 K.∵∠EHF＝∠EFE′＝∠E′KF＝90°，∴∠EFH＋∠E＝90°，∠EFH＋∠E′FK＝90°，∴∠E＝∠E′FK，∴△EHF≌△FKE′(AAS)，∴EH＝FK＝3，HF＝KE′＝a＋3，∴OK＝a＋3，∴点 E′(a＋3，a＋3).主题五：抽样与数据分析6.(教材素材：体质健康测试中的数据分析)综合与实践：体质健康测试中的数据分析.【收集数据】某校八年级学生进行了体质健康测试，现随机抽取了 40 名学生的成绩(单位：分)如下：75 85 74 98 72 57 81 96 73 95 59 95 63 8893 67 92 83 94 54 90 56 89 92 79 87 70 7191 83 83 73 80 93 81 79 91 78 83 77【整理数据】按评分分段整理样本数据，如下表：【分析数据】根据原始数据计算平均数、中位数、众数：【得出结论】(1)请直接写出表格中 a，b，c，d 的值；(2)该校八年级学生共有 800 人，请估计成绩在 75≤x≤100 的学生大约有多少人；(3)八(3)班张亮的测试成绩为 78 分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议.解：(1)a＝12，b＝20，c＝82，d＝83.(2)800×(30%＋40%)＝560(人).答：估计成绩在 75≤x≤100 的学生有 560 人.(3)积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平均分 80.5 分.第3课时跨学科综合与实践1.(跨物理学科)(2025 东莞模拟)综合与实践.【主题】探究电流表读数的最小值.【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论：①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系. 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为6 V，电阻R1＝3 Ω，R2＝5 Ω，滑动变阻器RP的最大电阻为10 Ω.【实践操作】将图 1 中的电路图等效为如图 2 所示电路图，RPa与RPb分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即RPa＋RPb＝RP＝10 Ω，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设RPa＝x Ω.【实践探索】(1)当滑片 P 滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？(2)当 x 取何值时，电流表读数最小？并求出电流表读数的最小值.∵0≤x≤10，2.(跨物理学科)(2025 江苏月考)综合与实践.【阅读材料】【数学思考】根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，可知入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等.例如：在图1、图 2 中，设平面镜 AB 与平面镜 BC 的夹角∠ABC＝α，从点 F射出一条光线，分别在点 E，点 G 发生反射，则有∠1＝∠2，∠3＝∠4.40(1)如图 1，光线经过 2 次反射又回到了点 F，入射光线 FE 与第 2 次反射光线 GF 的夹角为∠F.若α＝70°，则∠F＝________°；【解析】∵∠2＋∠3＋α＝180°，α＝70°，∴∠2＋∠3＝180°－70°＝110°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝110°，∴∠1＋∠4＋∠2＋∠3＝2×110°＝220°，∵∠FEG＋∠EGF＋∠1＋∠4＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°，∴∠FEG＋∠EGF＝360°－220°＝140°，∴∠F＝180°－(∠FEG＋∠EGF)＝180°－140°＝40°.(2)如图 2，光线经过 2 次反射，第 2 次反射光线为 GH，请探索证明∠FEG＋∠EGH 与α的数量关系，并求出当α为多少度时，GH∥EF；【延伸探究】(3)如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，α＝120°，入射光线 FE 与平面镜 AB 的夹角∠1＝m°.已知入射光线从平面镜AB开始反射，经过 n(n 为正整数，n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线 FE 平行时，请直接写出∠BCD 的度数(可用含有 m的代数式表示).解：(2)∠FEG＋∠EGH＝2α，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝180°－α，∴∠1＋∠4＝180°－α，∵∠1＋∠2＋∠FEG＋∠3＋∠4＋∠EGH＝180°＋180°＝360°，∴∠FEG＋∠EGH＝2α，若 EF∥GH，则 2α＝180°，解得α＝90°，∴当α＝90°时，GH∥ EF.(3)∠BCD 的度数为 150°或 90°＋m°.【解析】①当 n＝2 时，若在 BC 边上反射后与 EF 平行，由(2)知∠ABC＝α＝90°，与已知α＝120°不符，则只能在 CD 边上反射后与 EF 平行，如图 1，图 1延长 AB，DC 交于点 G，由 EF∥HK，且由(2)的结论可得∠G＝90°，又∵∠ABC＝α＝120°，∴∠GBC＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°，∴∠BCD＝∠G＋∠GBC＝90°＋60°＝150°.②当 n＝3 时，如图 2，∵∠BEG＝∠1＝m°，∴∠FEG＝180°－2m°，∠BGE＝∠CGH＝180°－(∠B＋∠BEG)＝180°－(120°＋m°)＝60°－m°，图 2　　∴∠EGH＝180°－2∠BGE＝180°－2(60°－m°)＝60°＋2m°，　　　　∵EF∥HK，　　　∴∠GHK＋∠FEG＋∠EGH＝360°，∴∠GHK ＝360° －∠FEG －∠EGH ＝360° －(180° －2m°) －(60°＋2m°)＝120°，∴∠GHC＝∠KHD＝30°，∴∠BCD＝180° －∠CGH－∠GHC ＝180° －(60° －m°)－30° ＝90°＋m°.综上，∠BCD 的度数为 150°或 90°＋m°.3.(跨地理学科)(2025 广西)综合与实践.树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图 1).初始时，矩形义卖区 ABCD 与遮阳伞投影▱MNPQ 的平面图如图 2 所示，点 P 在 AD 上，MN＝3 m，AN＝1 m，AP＝2 m，AB＝3 m，BC＝2.5 m.由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞.在移动过程中，▱MNPQ 也随之移动(MN 始终在 AB 边所在直线 l 上)，且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状.如图 3 为▱MNPQ 移动到点 P 落在 BC 上的情形.【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ 的位置.设遮阳区的面积为 S m2，▱MNPQ 从初始时向右移动的距离为x m.【直观感知】(1)从初始起右移至图 3 情形的过程中，S 随 x的增大如何变化？【初步探究】(2)求图 3 情形的 x 与 S 的值.【深入研究】(3)从图 3 情形起右移至点 M 与点 A 重合，求该过程中 S 关于 x 的函数解析式.【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，▱MNPQ 向右移动了多少？解：(1)由题可知，初始位置时 S＝0，∴从初始起右移到点 P 在 BC 上的过程中，S 随 x 的增大而增大.(2)如图 1，图 1根据题意，初始位置时点 P 在 AD 上，右移至点 P 在 BC 上时，∴向右移动的距离 x＝AB＝3 m，此时 AM＝1 m，点 Q 向右移动到 AD 上，∴AN＝MN－AM＝3－1＝2(m)，∴此时x的值为3 m，S的值为5 m2.(3)设初始位置时，∠ANP＝α，如图 2，图 2∵AP＝2 m，AN＝1 m，∠PAN＝90°，从点 P 在 BC 上的情形起右移至点 M 与点 A 重合的过程中，3≤x≤4，设 PQ 交 BC 于点 G，PN 交 BC 于点 E，QM 交 AD 于点F，连接 EF，如图 3，由平移的性质可知，PG＝(x－3)m，BN＝(4－x)m，∴GQ＝3－(x－3)＝(6－x)m，AN＝3－(4－x)＝(x－1)m，图 3∵tan P＝tan ∠ENB＝tan α＝2，∴GE＝2PG＝(2x－6)m，BE＝2BN＝(8－2x)m，∵AM ＝MN －AN ＝AB －AN ＝BN ，∠MAF ＝90° ＝∠NBE ， ∠FMA＝∠ENB，∴△FMA≌△ENB(ASA)，∴FM＝EN，∵FM∥EN，∴四边形 FMNE 是平行四边形，∴EF∥MN，EF＝MN＝3 m，∵MN∥PQ，∴四边形 QFEG，四边形 FANE 都是梯形，∴S 关于 x 的解析式为 S＝－2x2＋14x－19(3≤x≤4).(4)当 0＜x≤3 时，S 随 x 的增大而增大，故当 x＝3 时，由(2)知，S最大为5 m2；4.(跨体育学科)(2025 山西模拟)综合与实践.【问题情境】如图 1 是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点.【建立模型】如图 2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面(水平面)的运动轨迹可近似看成一条抛物线y＝ax2＋bx＋dm)表示球距离乒乓球台面的高度.教练组在分析时发现抛物线表达式中的 a 与球在竖直方向上的速度 v(单位：m/s)有关，b 始终不变，他们将测得的部分 a 与v2 的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图 3 所示的图象.【问题解决】(1)①根据图3可知，a是v2的________(填“一次”“二次”或“反比例”)函数；②求a关于v2的函数表达式.(2)在某次训练中，教练组统计了 y 与 x 的相关数据如表：式；反比例②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为 27 dm，那么球发出时在竖直方向上的速度 v应调节为多少？(结果精确到 0.1 m/s，参考数据： 　≈5.48)(2)①根据表格可得对称轴为 x＝4，顶点坐标为(4，4)，设抛物线表达式为y＝a(x－4)2＋4，答：球发出时在竖直方向上的速度 v 应调节为 24.7 m/s.