3.7.1二元一次方程组的应用(一) 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

封面标题：3.7.1 二元一次方程组的应用（一）学科：数学年级：七年级上册版本：湘教版配图建议：左侧展示和差倍分问题示意图（甲、乙两种水果共 50kg，甲比乙多 10kg，标注 “甲 + 乙 = 50”“甲 - 乙 = 10”）；右侧展示解题流程图（审题→找等量关系→设未知数→列方程组→求解→验证），直观连接实际场景与数学建模过程。教学目标掌握列二元一次方程组解决实际问题的核心流程，能从和差倍分、行程（相遇、追及）等场景中提取两个独立的等量关系，准确区分未知量与已知量。熟练完成 “设两个未知数→根据等量关系列方程组→用代入 / 加减消元法求解→检验并作答” 的完整步骤，根据问题特点选择合适的消元方法，提升数学建模能力。能独立解决含两个未知量的实际问题，理解二元一次方程组在处理 “多个等量关系” 问题中的优势，避免因等量关系混淆或未知数设错导致的错误。培养 “用数学眼光分析实际问题” 的意识，通过对比一元一次方程与二元一次方程组的解题思路，体会 “设多个未知数” 在简化等量关系表达中的价值，为后续复杂应用铺垫。新课导入旧知回顾与情境引入：回顾：已学二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），如用加减消元法解\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 5x - 3y = 16 \end{cases}\)，可得\(\begin{cases} x = \frac{27}{7} \\ y = \frac{23}{21} \end{cases}\)。情境 1（和差倍分问题）：某水果超市购进苹果和梨共 80kg，苹果的重量是梨的 3 倍，求苹果和梨各购进多少 kg？提问：“若设苹果 x kg，梨 y kg，能列出哪两个等量关系？（x + y = 80，x = 3y）”情境 2（行程问题）：甲、乙两人从 A、B 两地相向而行，2 小时后相遇，已知甲每小时走 6km，乙每小时走 4km，求 A、B 两地距离。若将问题改编为 “A、B 两地相距 20km，甲、乙相向而行 2 小时相遇，甲比乙每小时快 2km，求甲、乙速度”，引导学生思考：“此时有两个未知量（甲、乙速度），需列两个方程，如何表示等量关系？”问题聚焦：“当实际问题含两个未知量，且需两个独立等量关系才能确定它们的值时，二元一次方程组是更直接的工具。今天我们学习‘二元一次方程组的应用（一）’，掌握在和差倍分、行程等场景中列方程组解决问题的方法。”衔接旧知：明确列二元一次方程组解应用题的流程与一元一次方程类似，核心差异在于 “设两个未知数” 和 “列两个方程”，解题的关键仍是 “准确提取等量关系”，为新课流程梳理铺垫。新知探究 —— 列二元一次方程组解应用题的核心流程通用流程（七步走）：步骤 1：审题 —— 通读题目，标注关键信息（已知量、未知量、关键词如 “共”“比…… 多 / 少”“是…… 倍”“相遇”），明确问题求什么。例：和差问题中，标注 “总重量 80kg”“苹果是梨的 3 倍”，未知量：苹果重量 x kg，梨重量 y kg。步骤 2：找等量关系 —— 根据题目类型提取两个独立的等量关系（缺一不可，且不重复），可通过 “关键词法”（如 “共” 对应加法，“倍” 对应乘法）或 “公式法”（如行程问题：路程 = 速度 × 时间）确定。承接上例：等量关系 1：苹果重量 + 梨重量 = 总重量（x + y = 80）；等量关系 2：苹果重量 = 梨重量 ×3（x = 3y）。步骤 3：设未知数 —— 设两个未知量为 x、y（或其他字母），明确字母的实际意义及单位，优先 “求什么设什么”（直接设元），若直接设元不便，可间接设元。承接上例：设苹果购进 x kg，梨购进 y kg。步骤 4：列方程组 —— 根据两个等量关系，用含 x、y 的代数式表示相关量，列出两个二元一次方程，用大括号联立。承接上例：方程组为\(\begin{cases} x + y = 80 \\ x = 3y \end{cases}\)。步骤 5：解方程组 —— 选择合适的消元方法（代入法或加减消元法）求解，优先选择系数简单的方程变形（如含 “x = 3y” 的方程，用代入法更简便）。承接上例：将 x = 3y 代入 x + y = 80，得 3y + y = 80→4y = 80→y = 20，x = 60。步骤 6：检验 —— 将解代入原问题验证：①是否满足所有等量关系（60 + 20 = 80，60 = 3×20，均满足）；②是否符合实际意义（重量为正数，合理）。步骤 7：作答 —— 用文字规范表述答案，注明单位。承接上例：答：苹果购进 60kg，梨购进 20kg。关键提醒：等量关系的独立性：两个方程需表示不同的数量关系（如不能同时列 “x + y = 80” 和 “y + x = 80”，为同一关系）；单位统一：若题目中单位不一致（如速度 km/h 和时间分钟），需先统一单位再列方程；间接设元的应用：当直接设元导致等量关系复杂时，可设与未知量相关的量，如 “设甲速度为 x km/h，乙速度为 y km/h”，而非直接设距离。新知探究 —— 典型场景应用（一）：和差倍分问题常见类型与等量关系：类型 1：和倍问题（已知总量和倍数关系）：总量 = 量 1 + 量 2，量 1 = 量 2× 倍数（或量 2 = 量 1× 倍数）；类型 2：差倍问题（已知差值和倍数关系）：差值 = 量 1 - 量 2（量 1 > 量 2），量 1 = 量 2× 倍数；类型 3：和差问题（已知总量和差值）：总量 = 量 1 + 量 2，差值 = 量 1 - 量 2。示例讲解（和倍问题）：例题：某电器商场销售空调和冰箱，5 月份共销售 120 台，空调的销售量是冰箱的 2 倍，求 5 月份空调和冰箱各销售多少台？解答过程：步骤 1：审题：总销量 120 台，空调销量 = 冰箱销量 ×2，未知量：空调销量 x 台，冰箱销量 y 台。步骤 2：等量关系：①x + y = 120；②x = 2y。步骤 3：设未知数：设空调销售 x 台，冰箱销售 y 台。步骤 4：列方程组：\(\begin{cases} x + y = 120 \\ x = 2y \end{cases}\)。步骤 5：解方程组（代入法）：将②代入①→2y + y = 120→3y = 120→y = 40，x = 80。步骤 6：检验：80 + 40 = 120，80 = 2×40，符合；销量为正数，合理。步骤 7：作答：5 月份空调销售 80 台，冰箱销售 40 台。变式训练（差倍问题）：例题：甲仓库的粮食比乙仓库多 60 吨，甲仓库的粮食是乙仓库的 3 倍，求甲、乙两仓库各有粮食多少吨？等量关系：①x - y = 60；②x = 3y；方程组：\(\begin{cases} x - y = 60 \\ x = 3y \end{cases}\)→代入得 3y - y = 60→y = 30，x = 90；答：甲仓库有 90 吨，乙仓库有 30 吨。新知探究 —— 典型场景应用（二）：行程问题常见类型与等量关系：类型 1：相遇问题（相向而行）：①甲路程 + 乙路程 = 总距离；②甲时间 = 乙时间（同时出发到相遇）；类型 2：追及问题（同向而行，慢者在前）：①快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；②快者时间 = 慢者时间（同时出发到追上）；类型 3：匀速往返问题：①去时路程 = 返回路程；②去时时间 + 返回时间 = 总时间。示例讲解（相遇问题）：例题：A、B 两地相距 180km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 60km，乙车每小时行 30km，几小时后两车相遇？若将问题改编为 “两车相向而行 2 小时后相遇，甲车速度是乙车的 2 倍，A、B 两地相距 180km，求甲、乙两车速度”，用方程组求解。解答过程：步骤 1：审题：总距离 180km，相遇时间 2 小时，甲车速度 = 乙车速度 ×2，未知量：甲车速度 x km/h，乙车速度 y km/h。步骤 2：等量关系：①2x + 2y = 180（甲路程 + 乙路程 = 总距离）；②x = 2y（速度倍数关系）。步骤 3：设未知数：设甲车速度为 x km/h，乙车速度为 y km/h。步骤 4：列方程组：\(\begin{cases} 2x + 2y = 180 \\ x = 2y \end{cases}\)（可化简第一个方程为 x + y = 90）。步骤 5：解方程组（代入法）：将②代入 x + y = 90→2y + y = 90→y = 30，x = 60。步骤 6：检验：2×60 + 2×30 = 180，60 = 2×30，符合；速度为正数，合理。步骤 7：作答：甲车速度为 60km/h，乙车速度为 30km/h。变式训练（追及问题）：例题：甲、乙两人在同一条直线上同向跑步，乙先跑 100 米后甲开始跑，甲每秒跑 8 米，乙每秒跑 6 米，甲出发几秒后追上乙？等量关系：①甲路程 = 乙先跑路程 + 乙后跑路程；②甲时间 = 乙后跑时间（设为 t 秒）；设甲出发 t 秒后追上乙，乙速度 y=6m/s，甲速度 x=8m/s（已知，可直接用），方程组：\(\begin{cases} 8t = 100 + 6t \\ x = 8 \\ y = 6 \end{cases}\)→简化为 2t=100→t=50；答：甲出发 50 秒后追上乙（若未知速度，可设甲 x m/s，乙 y m/s，补充等量关系 x - y = 2，列方程组求解）。例题讲解例题 1（和差问题）：某学校七年级共有学生 480 人，其中男生人数比女生人数多 40 人，求七年级男生和女生各有多少人？解答过程：步骤 1：审题：总人数 480 人，男生 - 女生 = 40 人，未知量：男生 x 人，女生 y 人。步骤 2：等量关系：①x + y = 480；②x - y = 40。步骤 3：设未知数：设男生 x 人，女生 y 人。步骤 4：列方程组：\(\begin{cases} x + y = 480 \\ x - y = 40 \end{cases}\)。步骤 5：解方程组（加减消元法）：① + ②→2x = 520→x = 260，代入①→y = 220。步骤 6：检验：260 + 220 = 480，260 - 220 = 40，符合。步骤 7：作答：七年级男生有 260 人，女生有 220 人。例题 2（行程与和倍综合）：甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车比乙车早出发 2 小时，甲车每小时行 40km，乙车每小时行 60km，乙车出发几小时后追上甲车？此时两车行驶的路程是多少 km？解答过程：步骤 1：审题：甲先出发 2 小时，甲速度 40km/h，乙速度 60km/h，追上时路程相等，未知量：乙出发 t 小时后追上甲，路程 s km。步骤 2：等量关系：①s = 40 (t + 2)（甲总时间 t+2 小时）；②s = 60t（乙时间 t 小时）。步骤 3：设未知数：设乙出发 t 小时后追上甲，此时路程为 s km。步骤 4：列方程组：\(\begin{cases} s = 40(t + 2) \\ s = 60t \end{cases}\)。步骤 5：解方程组（代入法）：60t = 40t + 80→20t = 80→t = 4，s = 240。步骤 6：检验：甲行驶时间 6 小时，路程 40×6=240km；乙行驶 4 小时，路程 60×4=240km，符合。步骤 7：作答：乙车出发 4 小时后追上甲车，此时两车行驶的路程是 240km。课堂练习基础题：（1）和倍问题：某工厂生产 A、B 两种零件，3 月份共生产 500 个，A 零件的产量是 B 零件的 4 倍，求 A、B 零件各生产多少个？（2）相遇问题：甲、乙两人分别从相距 900 米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 40 米，几分钟后两人相遇？（用方程组求解，设时间 t 分钟，甲路程 x 米，乙路程 y 米）（3）和差问题：一个长方形的周长是 36 厘米，长比宽多 4 厘米，求长方形的长和宽（设长 x 厘米，宽 y 厘米，利用周长公式列方程）。提升题：（1）差倍问题：甲、乙两个书架，甲书架的书比乙书架多 120 本，甲书架的书是乙书架的 3 倍少 20 本，求甲、乙书架各有多少本书？（等量关系：①x - y = 120；②x = 3y - 20）（2）行程问题：A、B 两地相距 300km，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 50km，1 小时后乙车从 B 地开往 A 地，每小时行 60km，乙车出发几小时后与甲车相遇？（设乙出发 t 小时，等量关系：50 (t + 1) + 60t = 300）本课小结核心知识：解题流程：审题→找等量关系（2 个独立关系）→设未知数（2 个）→列方程组→求解→检验→作答；典型场景等量关系：和差倍分：和 = 量 1 + 量 2，差 = 量 1 - 量 2，倍 = 量 1 = 量 2×k；行程：相遇（甲2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 探究 小楠收集的中国邮票和外国邮票共有 335 张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的 3 倍少 17. 小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张?分析：需要求出中国邮票和外国邮票的张数.等量关系：中国邮票的张数 + 外国邮票的张数 = 335 中国邮票的张数 = 3×外国邮票的张数－17请同学们分小组列出一元一次方程或二元一次方程组解决这个问题吧！解:设小楠有中国邮票 x 张，外国邮票 y 张，根据等量关系，得解:设小楠有中国邮票 x 张，外国邮票(335-x)张，根据等量关系，得解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；(2) 设元：用___________表示题目中的未知数；(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4) 解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值；(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义， 然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法例1 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为 10 m/s，跑步的平均速度为 ，自行车路段和长跑路段共 5 km，共用时 15 min．求自行车路段和长跑路段的长度．分析：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，骑自行车的时间+长跑时间=总时间.解： 设自行车路段的长度为 x m，长跑路段的长度为 y m.根据等量关系，得解这个方程组，得因此自行车路段的长度为 3000 m，长跑路段的长度为 2000 m．3. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析：生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 车间总人数螺钉总产量 + 螺母总产量 = 螺母螺钉总产量1200x2000y1. 基本数量关系：配套数量比例；2. 生产中常见的配套问题：螺钉和螺母、盒身与盒底、桌面与桌腿、衣身与衣袖等.总结解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人. 答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.求甲、乙两种商品原来的单价.本问题涉及的等量关系为：甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元，调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元.xyx - 15%x = (1-15%)xx + 10%x = (1+10%)x解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.根据题意，得答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元.3. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％，12％ 的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？分析 本问题涉及的等量关系有：甲配料质量+乙配料质量 = 总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量= 总蛋白质质量.解：设含蛋白质 20％ 的配料需用 x kg，含蛋白质12％ 的配料需用 y kg.根据等量关系得解这个方程组得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质 20％ 的配料需用 37.5 kg，含蛋白质12％的配料需用 62.5 kg. 用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同学交流.实际问题列出二元一次方程组解方程组检查解是否符合实际问题的需要，如果符合， 它就是实际问题的解应用1 行程问题 了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为____里/分钟.50 返回 25米/秒50米/秒 返回 25    返回4.［2025怀化期末］甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？   返回应用二元一次方程组的应用和差倍分、行程、工程、配套等...解题步骤审题：弄清题意和题目中的________数量关系设元：用____表示题目中的未知数字母列方程组：根据__个等量关系列出方程组2解方程组：______________代入法、加减法检验作答必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！