2024年中考数学真题分类汇编：知识点48 几何最值2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点48 几何最值2024（解析版），共14页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
12．【2024·泰安】如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
【答案】C【解析】如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AF⊥GM于点F，∵∠EMF+∠EGF＝180°，∴点E、M、F、G四点共圆，∴∠EMG＝∠EFG＝30°，∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，∴MG∥AB，
∴四边形MHAF是矩形，∴MH＝AF，∵BE＝8，∴EM＝BE•cs30°＝43，∴MH=12EM＝23=AF，∴AG≥AF＝23，∴AG最小值是23．故选C．
江苏省
1．【2024·苏州】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
【答案】D【解析】连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB=3，BC＝1，∴AC=AB2+BC2=3+1=2，∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝1，∵AG⊥EF，∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故选D．
四川省
10．【2024·达州】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD=22CE，则下列结论：①AEBD=2；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是42−4；④CF的最小值是210−22．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D【解析】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=42，∴ACAB=424=2. ∵AD=22CE，∴CEAD=2，∴ACAB=CEAD.
又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，∴△CAE∽△ABD，∴AEBD=ACAB=2，故结论①正确；②∵△CAE∽△ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，∴∠DFE＝180°−∠BFE＝180°−45°＝135°.故结论②正确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如图所示：∴∠AOB＝90°，∴∠AHB＝180°−12∠AOB＝180°−12×90°＝135°.∵∠DFE＝135°，∴点F在AB上运动.∵AB＝4，∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积.根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK=12AB＝2，∠AOH＝45°，∴AK＝OK＝2.在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA=AK2+OK2=22，
∴OA＝OH＝OB＝OP=22，∴KH＝OH−OK=22−2，∴S△ABH=12AB•KH=12×4×(22−2)=42−4，
故结论③正确；④∵点F在AB上运动，∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长.∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，∴四边形OMBK为矩形，∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，在Rt△COM中，由勾股定理得：CO=CM2+OM2=210，∴CP＝CO−OP=210−22，即CF的最小值是210−22，故结论④正确.综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．
11．【2024·宜宾】如图，在△ABC中，AB＝32，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+32B．6+22C．5D．8
【答案】D【解析】如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AE=2AB＝6，∵∠DBC＝90°＝∠EBA，∴∠DBE＝∠CBA，又∵BD＝BC，AB＝BE，∴△DBE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC＝2，在△ADE中，AD＜AE+DE，∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，∴AD的最大值＝6+2＝8，故选D．
1. 【2024·泸州】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝BF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°.∵点M是DF的中点，∴OM=12DF.如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，∴△FBG≌△FBH（SAS），∴FH＝FG，∴OM+12FG=12DF+12HF=12(DF+HF)，∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半.∵AG＝2GB，AB＝6，∴BH＝BG＝2，∴AH＝8.在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+AH2=10．∴OM+12FG的最小值为5，故选：B．
2．【2024·德阳】一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为25−2；
④DA1达到最小值时，MN＝5−5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C【解析】∵正方形纸片ABCD的边长为4dm，AE＝BE，∴AE=BE=12AB=2.由折叠的性质可知，A1E＝AE＝2，∴当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动．故①正确；连接DE，
∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，AE＝2，∴在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=42+22=25.
∵DA1+A1E≥DE，∴DA1≥DE−A1E=25−2，∴DA1的最小值为25−2.故③正确；
如图，DA1达到最小值时，点A在线段DE上，
由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°，∴∠DA1N＝90°，∴∠DA1N＝∠A，
∵∠A1DN＝∠ADE，∴△A1DN∽△ADE，A1DAD=DNDE，∴25−24=DN25，∴DN=5−5，∴MN=AD−DN−AM=4−(5−5)−1=5−2.故④错误．
在△A1DE中，DE=25，A1E＝AE＝2，∴A1D随着∠DEA1的增大而增大.
∵∠DEA1＝∠NEA1−∠NED＝∠NEA−∠NED＝∠NEA−（∠AED−∠NEA）＝2∠NEA−∠AED，∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与点D重合，
过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，
∵∠A＝90°，∴四边形AGA1P是矩形，∴A1G＝AP＝AE+EP，当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值.∵∠A1EP＝180°−∠AEN−∠A1EN＝180°−2∠AEN∴∠A1EP有最小值，∴在Rt△A1EP中，EP＝A1E•cs∠A1EP有最大值，即A1G＝AP＝AE+EP有最大值，∴点A1到AD的距离最大．故②正确．综上所述，正确的共有3个．
故选C．
二、填空题
河南省
15．【2024·河南】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】22+1 22−1【解析】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，∵AB=2AC＝32，∴当cs∠BAE最大时，AE最大，当cs∠BAE最小时，AE最小．①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴AD=AC2−CD2=22，∵AC=AC，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝22+1，即AE的最大值为22+1.
②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝22，DE＝1，此时AE＝22−1，即AE的最小值为22−1.
故答案为：22+1；22−1．
山东省
1．【2024·烟台】如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 ．
【答案】203−16【解析】∵在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8，∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，∴D'E＝DE＝CE=12CD＝4，∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，∵△ABD′面积=12AB•D'M，AB＝8，∴△ABD′面积＝4D'M，要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，∵D'M＝D'M+D'E−4≥EM−4≥EH−4，∴D'M的最小值为EH−4，过点C作CN⊥AB于点N，则EH＝CN，在Rt△BCN中，∵BC＝10，∠ABC＝60°，CN＝BC•sin60°＝10×32=53，
∴EH＝53，∴D'M的最小值为53−4，∴△ABD′面积＝4（53−4）＝203−16，故答案为：203−16．
1．【2024·滨州】如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（−1，3），O（0，0），B（3，−1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 ．
【答案】（109，89）【解析】连接OC、AB，交于点P，如图所示，∵两点之间线段最短，∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax+b，∵点C（5，4）在直线OC上，点A（−1，3），B（3，−1）在直线AB上，∴4＝5k，−a+b=33a+b=−1，解得k=45，a=−1b=2，∴直线OC的解析式为y=45x，直线AB的解析式为y＝−x+2，∴y=45xy=−x+2，解得x=109y=89，∴点P的坐标为（109，89），故答案为：（109，89）．
2．【2024·烟台】如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 ．
【答案】203−16【解析】∵在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8，∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，∴D'E＝DE＝CE=12CD＝4，∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，∵△ABD′面积=12AB•D'M，AB＝8，∴△ABD′面积＝4D'M，要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，∵D'M＝D'M+D'E−4≥EM−4≥EH−4，∴D'M的最小值为EH−4，过点C作CN⊥AB于点N，则EH＝CN，在Rt△BCN中，∵BC＝10，∠ABC＝60°，CN＝BC•sin60°＝10×32=53，
∴EH＝53，∴D'M的最小值为53−4，∴△ABD′面积＝4（53−4）＝203−16，故答案为：203−16．
江苏省
1．【2024·扬州】如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 ．
【答案】13【解析】∵AC∥BD，∴四边形ACBD是平行四边形，∴AE＝BE=12AB，∵A为定点，且AB⊥l2，∴AE为定值，∵BH⊥CD，∴∠BHE＝90°，∴点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为圆心），此时OE=12BE=13OA，
∵当AH与⊙O相切时∠BAH最大，∴sin∠BAH=OHOA=13．故答案为13．
四川省
24．【2024·凉山州】如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【答案】27【解析】如图，连接MP、MQ，∵PQ是⊙M的切线，∴MQ⊥PQ，∴PQ=PM2−MQ2=PM2−4，
当PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（−4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝45°，AM＝8，当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×22=42，
∴PQ的最小值为：(42)2−4=28=27，故答案为27．
16．【2024·广元】如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+55BC的最大值为 ．
【答案】52【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示，∵tan∠C＝2，在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得BC=5x，∴DCBC=x5x=55，即55BC=DC，∴AC+55BC=AC+DC，延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示，∴AC+55BC=AC+DC=AC+CE=AE，∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°，由辅助圆−定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示，由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC+55BC 的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝5，∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得AE=AB2+BE2=52，即AC+55BC 的最大值为52，故答案为52．
25．【2024·内江】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．
【答案】213【解析】在AB取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，∵是△ABC 的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又 BP＝BP，∴△BFP≌△BEP（SAS），∴PF＝PE，∴PE+PC＝PF+PC≥CF.当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°，∴BH=12BF=1，∴FH=BF2−BH2=3，CH＝BC−BH＝7，∴CF=CH2+FH2=213，∴PE+PC 的最小值为213，
故答案为213．
18．【2024·宜宾】如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 ．
【答案】22−2【解析】如图，延长CD到点G，使DG＝BM．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°，∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM，又∵BM＝DG，AD＝BC，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°，在△GAN和△MAN中，AG=AM∠GAN=∠MANAN=AN，∴△GAN≌△MAN（SAS），∴GN＝MN．设BM＝x，MN＝y，则GN＝y，DG＝x．∵BC＝CD＝1，∴CM＝1−x，CN＝x−y+1，在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即y2＝（1−x）2+（x−y+1）2，整理可得：y=x2+1x+1=(x+1)2−2(x+1)+2x+1=x+1+2x+1−2，∵x+1+2x+1≥2(x+1)⋅2x+1=22，∴y≥22−2，此时 x=2−1．故：MN的最小值为22−2.
16．【2024·宜宾】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝ ．
【答案】23【解析】如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠D＝∠DCH，又∵CD＝CH，DF＝CE，∴△CDF≌△HCE（SAS），∴CF＝EH，∴AE+CF＝AE+EH，∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，此时：∵CD∥AB，∴△CEH∽△BAH，∴CHBH=CEAB，∴22+4=CE2，∴CE=23，故答案为：23．
15．【2024·广安】如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM'＝A'M'，∴当M，M′重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，∵AB＝4，∠ABC＝30°，在▱ABCD中，∴AH=12AB=2，AD∥BC，∴AA'＝2AH＝4，AA'⊥AD.∵AD＝5，∴A′D=42+52=41.故答案为41．
1．【2024·成都】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
【答案】5【解析】取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图，∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l，∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称，∴PO'＝PO，∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A，即PO+PA的最小值为O'A的长，
在Rt△O'AO中，∵OA＝3，OO'＝4，∴由勾股定理，得O'A=OA2+OO′2=32+42=5，∴PO+PA的最小值为5．故答案为：5．
黑龙江省
18．【2024·龙东地区】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC=12，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ．
【答案】22+12 【解析】如图，作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．∵P是CD的中点，Q是AC的中点，∴PQ是△ACD的中位线，∴PQ=12AD=12．∴线段AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心PQ为半径的圆上移动，∴当BP经过点Q时BP的值最大．∵BC＝2，tan∠BAC=12，∴AC＝4，∴AQ＝CQ＝2．∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，∴BQ＝22（负数不合题意舍去），∴BP的最大值为22+12．故答案为22+12．
20．【2024·绥化】如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ ．
【答案】80°【解析】作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP，作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，∠AOB＝∠MOP+∠PON，∴∠EOF＝2∠AOB，又∵∠AOB＝50°，∴∠EOF＝100°，∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°，∴∠OEM+∠OFN＝180°−100°＝80°，∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，∴∠MPO+∠OPN＝80°，∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°，故答案为80°．
三、解答题
江苏省
1．【2024·扬州】如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为 ．
解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，
∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，
∴∠BCM＝∠HME，∴△MCB∽△HME，
∴BCEM=BMEH，
∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，
∴210−BM=BM12，解得BM＝4或6，
∴点M与点B之间的距离是4或6．
（2）由（1）知BCEM=BMEH，
设EH＝y，BM＝x，
∵BE＝10，∴EM＝10−x，
∴210−x=xy，∴y=−12x2+5=−12（x−5）+12.5，
∵−12＜0，∴当x＝5时，ymax＝12.5，
即HE最大值为12.5．
（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，
∴CH＝2OM，∴2OM+HB＝CH+BH，
∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．
如图，连接FH，则点H在∠EFG的角平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH+HB最小值．
过点C作CQ⊥B'F．
∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，∴B'在FG的延长线上，
∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，
∴四边形CBFQ为矩形，∴FQ＝BC＝2，
∵BF＝B'F＝22，∴B'Q＝B'F−QF＝20，
在Rt△B'CQ中，B'C2=CQ2+B′Q2=2221，
即CH+BH最小值为2221，
∴2OM+HB最小值为2221．
四川省
26．【2024·凉山州】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
解：（1）连接AN，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN＝EN，∴EN＝CN.
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，∴BN＝2NG.
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN＝AN，
∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴AH＝AB•sin60°=3，
∴2EN+BN的最小值为23．