2026年九年级中考数学真题分类训练考点28切线的判定与性质练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点28切线的判定与性质练习含答案，共22页。
A.30°B.40°C.45°D.50°
(第1题) (第2题) (第3题)
2.(2024福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为AB的中点,则∠ACM等于( )
A.18°B.30°C.36° D.72°
3.(2024泸州)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( )
A.56°B.60°C.68°D.70°
4.(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心、AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若ABCD=13,则sin C的值是( )
A.23B.53C.34D.74
5.(2024包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 .
(第5题) (第6题)
6.(2023河南)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 .
7.(2024泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D为AC的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,连接AD.若DF=1,tan B=12,则AE的长为 .
命题点2 三角形的内切圆、内心
8.(2023聊城)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )
A.15°B.17.5°C.20°D.25°
(第8题) (第9题) (第10题)
9.(2023天门)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
10.(2024内江)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为 .
命题点3 与切线的判定与性质相关的证明与计算
11.(2024甘肃)如图,AB是☉O的直径,BC=BD,点E在AD的延长线上,且∠ADC=∠AEB.
(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
12.(2024盐城)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
13.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的☉O经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若AD=3,AE=1,求CF的长.
14.(2024武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4, CF=2,求sin∠OAC的值.
15.(2024北京)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC.
(2)延长DO交☉O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若OFBF=56,PE=1,求☉O半径的长.
16.(2024陕西)如图,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:∠BAF=∠CDB;
(2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.
17.(2024天津)已知△AOB中,∠ABO=30°,AB为☉O的弦,直线MN与☉O相切于点C.
(Ⅰ)如图(1),若AB∥MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小;
(Ⅱ)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长.
图(1) 图(2)
18.(2024辽宁)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在BC上,AC=BD,点E在BA的延长线上,∠CEA=∠CAD.
(1)如图(1),求证:CE是☉O的切线;
(2)如图(2),若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求BD的长.

图(1) 图(2)
19.(2024贵州)如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
(1)写出图中一个与∠DEC相等的角: ;
(2)求证:OD⊥AB;
(3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长.
20.(2024宜宾)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交☉O的直径BD的延长线于点E,连接CD.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(2)若tan∠ABE=12,求CD和DE的长.
21.(2024自贡)在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)图(1)中三组相等的线段分别是CE=CF,AF= ,BD= ;若AC=3,BC=4,则☉O的半径长为 .
(2)如图(2),延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O的切线.
图(1) 图(2)
22.(2024广西)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与☉O相切;
(3)若tan∠BAC=34,BC=12,求☉O的半径.
23.(2024南充)如图,在☉O中,AB是直径,AE是弦,点F是AE上一点,AF=BE,AE,BF交于点C,点D为BF延长线上一点,且∠CAD=∠CDA.
(1)求证:AD是☉O的切线.
(2)若BE=4,AD=25,求☉O的半径长.
24.(2024威海)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H=45°.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.
命题点4 与切线性质相关的实际应用
25.(2024滨州)
刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误··的是( )
A.d=a+b-cB.d=2aba+b+c
C.d=2(c-a)(c-b)D.d=|(a-b)(c-b)|
26.(2023河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图(1)和图(2)所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算 在图(1)中,已知MN=48 cm,过点O作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作 将图(1)中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动,如图(2),其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
探究 在图(2)中.
(2)操作后水面高度下降了多少?
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与EQ的长度,并比较大小.
图(1) 图(2)
考点28切线的判定与性质
1 D 易得∠B=12∠AOD=40°(依据:圆周角定理).∵AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,∴∠CAB=90°,∴∠C=90°-∠B=50°.
2 A 如图,∵点C为AB的中点,∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=36°.延长CO交☉O于点D,连接AD,则∠D=12∠AOC=18°(依据:圆周角定理),∠CAD=90°(依据:直径所对圆周角为直角),∴∠ACD=72°.∵直线MN与☉O相切于点C,∴OC⊥MN,∴∠ACM=90°-72°=18°.
3 C
4 B 如图,连接DB,DE,易证BA与圆相切于点A,又∵BE与圆相切于点E,∴AB=BE(依据:切线长定理),∠DAB=∠DEB=90°.又∵AD=DE,∴△DAB≌△DEB,∴∠ABD=∠EBD.∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=∠DBC,∴CD=CB.∵ABCD=13,∴可设AB=BE=a,CD=CB=3a,∴CE=2a,∴DE=(3a)2-(2a)2=5a,∴sin C=DECD=5a3a=53.
如图,连接DE,过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFC=∠DEC=90°.∵AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥DC,∴四边形ADFB是矩形,∴BF=AD=DE,DF=AB.又∵∠C=∠C,∴△BFC≌△DEC,∴BC=CD.∵ABCD=13,∴可设AB=DF=a,CD=CB=3a,∴CF=2a,∴BF=(3a)2-(2a)2=5a,∴sin C=BFBC=5a3a=53.
5 105°
6 103
【解析】∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAC=90°.又OA=5,PA=12,∴OP=52+122=13,∴PB=13-5=8.如图,连接OC,∵OA=OB,CA=CB,OC=OC,∴△OCA≌△OCB(SSS),∴∠OBC=∠OAC=90°,∴∠PBC=90°.
方法一:∵∠PBC=∠PAO=90°,∠P=∠P,∴△PBC∽△PAO,∴PBPA=CBOA,即812=CB5,∴CB=103,∴CA=103.
方法二:设CA=CB=x,则CP=12-x.在Rt△BCP中,由勾股定理,得CB2+BP2=CP2,即x2+82=(12-x)2,解得x=103,∴CA=103.
7 5
【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ADF=∠ADB=90°.∵AH是☉O的切线,∴∠BAF=90°(依据:圆的切线垂直于过切点的半径),∴∠DAF=90°-∠DAB=∠ABD,∴△DAF∽△DBA,∴DFAD=ADBD=tan B=12.又∵DF=1,∴AD=2,∴AF=AD2+DF2=5.∵点D为AC的中点,∴AD=CD,∴∠DAC=∠ABD=∠DAF.又∵∠ADE=∠ADF=90°,∴∠AED=∠AFD,∴AE=AF=5(依据:等角对等边).
8 C 连接OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC.∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°.∵点O是△ABC外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=12×(180°-∠BOC)=12×(180°-140°)=20°,故选C.
9 35°
【解析】如图,连接OE,OD,OB,设OB交DE于点H.∵☉O是△ABC的内切圆,∴AO,BO分别是∠CAB,∠CBA的平分线(点拨:三角形的内心是三条角平分线的交点),∴∠OAB=12∠CAB,∠OBA=12∠CBA.∵∠ACB=70°,∴∠OAB+∠OBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°-∠ACB)=55°,∴∠AOB=125°.∵☉O与AB,BC分别相切于点D,E,∴BD=BE(依据:切线长定理).又∵OD=OE,∴OB是DE的垂直平分线,∴OB⊥DE,即∠OHF=90°,∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°.
10 213
11 (1)证明:∵BC=BD,
∴∠CAB=∠BAE(依据:等弧所对的圆周角相等).
∵AC=AC,
∴∠ABC=∠ADC(依据:同弧所对的圆周角相等).
又∵∠ADC=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,即AB⊥BE.
∵OB为☉O的半径,∴BE是☉O的切线.
(2)∵OB=2,
∴AB=2OB=4,AC=AB2-BC2=42-32=7,
∴tan∠AEB=tan∠ABC=ACBC=73.
12 (1)证明:如图,连接OC,
∵l是☉O的切线,C为切点,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴∠ADC =∠OCD=90°,
∴∠ADC +∠OCD=180°,
∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠ACO.
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD.
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=AC2-CD2=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴ABAC=ACAD,
∴AB5=53,
∴AB=253,
∴☉O的半径为256.
13 (1)证明:如图,连接OD.
∵BD=BC,OB=OB,OD=OC,
∴△OBD≌△OBC(SSS),
∴∠ODB=∠OCB=90°,即OD⊥BD.
又∵OD为☉O的半径,∴AB是☉O的切线.
(2)∵∠ODB=90°,∴∠ODA=90°.
设☉O的半径为x.
在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,即(x+1)2=x2+(3)2,
解得x=1,∴OD=OC=1,OA=2,
∴cs∠AOD=ODOA=12,∴∠AOD=60°.
∵△OBD≌△OBC,
∴∠BOD=∠COF=12×(180°-60°)=60°,
∴CF的长为60π×1180=π3.
高分技法 ◀ ◀ ◀
圆中与切线相关的常见辅助线
判定切线时,连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂线;有切线时,常常连接切点和该圆的圆心得到半径.
14 (1)证明:如图,连接OA,OD,过点O作ON⊥AB交AB于点N,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC(依据:等腰三角形“三线合一”).
∵AC与半圆O相切于点D,∴OD⊥AC.
又∵ON⊥AB,
∴ON=OD(提示:角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴AB是半圆O的切线.
(2)连接OD,由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC,
∴∠AOD+∠DOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠COD=CDOC.
∵在Rt△ODC中,由勾股定理,得OC2=CD2+OD2,
∴(OD+2)2=42+OD2,解得OD=3,
∴sin∠OAC=sin∠COD=CDOC=CDOD+2=43+2=45.
15 (1)证明:∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=12∠AOC.
又∵∠B=12∠AOC,
∴∠B=∠AOD,
∴OD∥BC.
(2)设☉O的半径为r.
如图,∵OD∥BC,∴△EOF∽△CBF,∠1=∠2,
∴OEBC=OFBF,即rBC=56,
∴BC=6r5.
过点O作OG⊥BC于点G,则BG=12BC=3r5.
∴cs∠2=35.
∵BP是☉O的切线,切点为B,
∴OB⊥PB,∴OB=OPcs∠1=OPcs∠2,
∴r=(r+1)×35,解得r=32.
故☉O半径的长为32.
16 (1)证明:∵直线l与☉O相切于点A,
∴∠BAD=90°,
∴∠BDA+∠ABD=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠BFA=90°,
∴∠BAF+∠ABD=90°,
∴∠BAF=∠CDB.
(2)∵AD=9,AC=12,∴CD=21.
∵r=6,∴AB=12=AC.
又AD=9,∠BAD=90°,
∴BD=15,△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,BC=122.
连接AE,
∵AB是☉O的直径,∴∠BEA=90°,
∴BE=12BC=62.
∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,
∴∠BEF=∠CDB.
又∠EBF=∠DBC,
∴△BEF∽△BDC(相似模型——反A共角型相似:),
∴BEBD=EFCD,即6215=EF21,
∴EF=4225.
17 (Ⅰ)∵AB为☉O的弦,
∴OA=OB,∴∠A=∠ABO.
∵△AOB中,∠A+∠ABO+∠AOB=180°,
又∠ABO=30°,
∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°.
∵直线MN与☉O相切于点C,CE为☉O的直径,
∴CE⊥MN,即∠ECM=90°.又AB∥MN,
∴∠CDB=∠ECM=90°.
在Rt△ODB中,∠BOE=90°-∠ABO=60°.
∵∠BCE=12∠BOE,
∴∠BCE=30°.
(Ⅱ)如图,连接OC.
同(Ⅰ),得∠COB=90°.
∵CG⊥AB,得∠FGB=90°.
∴在Rt△FGB中,由∠ABO=30°,
得∠BFG=90°-∠ABO=60°.
∴∠CFO=∠BFG=60°.
在Rt△COF中,tan∠CFO=OCOF,OC=OA=3,
∴OF=OCtan∠CFO=3tan60°=3.
18 (1)证明:∵AC=BD,∴∠DAB=∠CBA.
如图(1),连接OC,则∠COA=2∠CBA.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠DAB+∠CBA=∠CAD+2∠CBA=∠CAD+∠COA=90°.
又∵∠CEA=∠CAD,
∴∠CEA+∠COA=90°,
∴∠ECO=90°,即OC⊥CE.
又∵OC是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线.
图(1) 图(2)
(2)如图(2),连接OC,OD.
由(1)知∠ECO=90°.
∵∠DOB=2∠DAB,∠CEA=2∠DAB,
∴∠CEA=∠DOB,
∴CE∥OD,∴∠DOC=∠ECO=90°.
∵AC=BD,∴∠COA=∠DOB=45°,
∴BD的长为45×π×8180=2π.
19 (1)∠DCE(或∠AEO)(答案不唯一,正确即可)
(2)证明:如图,连接OC.
∵PC与半圆O相切于点C,
∴OC⊥CD,即∠DCE+∠ACO=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO.
∵∠DCE=∠DEC=∠AEO,(关键点:角之间的等量代换)
∴∠AEO+∠CAO=90°,
∴∠AOE=90°,
∴OD⊥AB.
(3)设OE=x,则OF=BO=AO=OC=2x,
∴EF=x,OD=2x+2,
∴DC=DE=2+x.
如图,在Rt△ODC中,OD2=CD2+OC2,
∴(2+2x)2=(x+2)2+(2x)2,
解得x1=4,x2=0(舍去),
∴OD=10,CD=6,OC=8.
∵tan D=OPOD=OCCD,
∴OP10=86,
∴OP=403,
∴BP=OP-OB=163.
20 (1)证明:如图,连接AO并延长交BC于点F,连接OC,则OB=OC.
∵AB=AC,OB=OC,
∴AF⊥BC(依据:到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
∵AE∥BC,
∴∠OAE=∠OFB=90°(依据:两直线平行,内错角相等).
又∵OA是☉O的半径,
∴AE是☉O的切线.
(2)∵OB=OA,AF⊥BC,
∴∠BAF=∠ABE,
∴BFAF=tan∠BAF=tan∠ABE=12,
∴AF=2BF.
∵AB=AF2+BF2=(2BF)2+BF2=5BF=10,
∴BF=25,AF=45.
∵BF2+FO2=OB2,且OB=OA=45-FO,
∴(25)2+FO2=(45-FO)2,
解得FO=352,
∴OD=OB=OA=45-352=552.
∵OB=OD,BF=CF,
∴CD=2FO=2×352=35(依据:三角形的中位线定理).
∵OAOE=cs∠AOE=cs∠FOB=FOOB,
∴OE=OA·OBFO=552×552352=2556,
∴DE=OE-OD=2556-552=553.
21 (1)AD BE 1
(2)证明:如图,过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF,
则∠OHN=∠ODN=∠OEC=∠OFC=90°.
又∵∠ANM=∠ACB=90°,
∴四边形OHND,OFCE均为矩形,
∴ND=OH,CF=OE.
∵∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB,
∴△AMN≌△ABC(AAS),
∴AN=AC.
又∵AD=AF,
∴AN-AD=AC-AF,即DN=CF,
∴OH=OE,即OH是☉O的半径.
又∵OH⊥MN,
∴MN是☉O的切线.
22 (1)证明:
方法一:连接FC,AD,如图(1),
∵E为AC的中点,DE=EF,
∴四边形AFCD是平行四边形,
∴AF∥CD,AF=CD.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,∴AF=BD,
∴四边形ABDF是平行四边形.
图(1) 图(2)
方法二:如图(2),∵点D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE∥AB(依据:三角形中位线定理),即FD∥AB.
∵∠1=∠2,CE=AE,DE=FE,
∴△EDC≌△EFA(SAS),
∴∠3=∠4,∴AF∥BD,
∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)证明:如图(1),∵AB=AC,点D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵AF∥BC,∴AF⊥AD.
∵BC是☉O的一条弦,AD是BC的中垂线,
∴AD必经过圆心O,OA为☉O的半径,(易错点:要判断OA为半径,这一步不能缺少)
∴AF与☉O相切.
(3)如图(3),连接CO并延长,交☉O于点G,连接GB,
则∠GBC=90°(依据:直径所对的圆周角为直角),∠G=∠BAC(依据:同弧所对的圆周角相等),
∴BG=BCtanG=BCtan∠BAC=1234=16,
∴在Rt△GBC中,GC=BG2+BC2=162+122=20,
∴OC=12GC=10,
∴☉O的半径为10.
图(3)
知识积累 ◀ ◀ ◀
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
23 (1)证明:∵AF=BE,
∴∠ABF=∠BAE(依据:等弧所对的圆周角相等).
又∵∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=180°,
∴∠BAE+∠CAD=90°,
即∠BAD=90°,∴AD⊥AB,
∴AD是☉O的切线.
(2)如图,连接AF.∵AF=BE,
∴AF=BE=4(依据:等弧对等弦).
∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),∴∠AFD=90°.
在Rt△ADF中,DF=AD2-AF2=2.
∵tan D=ABAD=AFDF,∴AB25=42,∴AB=45.
又∵AB是☉O的直径,∴☉O的半径长为25.
24 (1)证明:如图,连接OC,则∠OAC=∠OCA.
∵BC=CD,∴BC=CD,
∴∠DAC=∠CAB(依据:等弧所对的圆周角相等),
∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,
∴∠OCE=∠F.
∵EH平分∠FEG,
∴∠FEG=2∠HEG,
∴∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°,
∴∠OCE=∠F=90°.
又∵OC是☉O的半径,
∴EF是☉O的切线.
(2)如图,设☉O的半径为r,则OE=OB+BE=r+2.
∵OC2+CE2=OE2,
即r2+42=(r+2)2,解得r=3,
∴AE=AB+BE=6+2=8,OE=5.
由(1)知OC∥AD,∴△ECO∽△EFA,
∴AEOE=AFOC,即85=AF3,解得AF=245.
25 D 如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F.连接AO,BO,CO.易证四边形OECD是正方形,△AEO≌△AFO,△BDO≌△BFO,∴EC=CD,AE=AF,BD=BF.设OE=OD=OF=r,则EC=CD=r,∴AF=AE=b-r,BF=BD=a-r.∵AF+BF=AB,∴a-r+b-r=c,∴r=a+b-c2,∴d=2r=a+b-c.故选项A正确.∵S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB,∴12ab=12br+12ar+12cr,∴ab=r(a+b+c),∴r=aba+b+c,即d=2r=2aba+b+c.故选项B正确.∵d=a+b-c,∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2.∵a2+b2=c2,∴d2=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),∴d=2(c-a)(c-b).故选项C正确.故选项D错误.
本题作为选择题,用特殊值法可快速定位答案.
∵△ABC为直角三角形,∴令a=3,b=4,c=5,∴选项A:d=a+b-c=2,选项B:d=2aba+b+c=2,选项C:d=2(c-a)(c-b)=2,选项D:d=|(a-b)(c-b)|=1.很明显,只有D选项的结果跟其他选项的结果不一致,∴表达式错误的是D选项.
26 (1)如图,连接OM,则OM=AO=12AB=25 cm.
∵点O为圆心,OC⊥MN,MN=48 cm,
∴MC=12MN=24 cm(依据:垂径定理),
∴OC=OM2-MC2=252-242=7(cm).
(2)∵GH与半圆O的切点为E(信息点),
∴OE⊥GH(依据:圆的切线垂直于经过切点的半径).
又∵MN∥GH,
∴OD⊥MN.
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=12ON=12.5 cm,
∴操作后水面高度下降了12.5-7=5.5(cm).
(3)∵OD⊥MN,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°.
∵半圆的中点为Q(信息点),
∴AQ=QB,∴∠QOB=90°,
∴∠QOE=90°-60°=30°,
∴EF=OE·tan∠FOE=25tan 30°=25×33=2533(cm),lEQ=30π×25180=25π6(cm).
∵2533-25π6=503-25π6=25(23-π)6>0,
∴EF>lEQ.