2026年九年级中考数学真题分类训练考点21锐角三角函数及其应用练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点21锐角三角函数及其应用练习含答案，共18页。试卷主要包含了研学实践，60,cs 37°≈0等内容，欢迎下载使用。

1.(2024云南)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=( )
A.45B.35C.43D.34
(第1题) (第3题)
2.(2023扬州)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是( )
A.1B.2C.6D.8
命题点2 锐角三角函数的实际应用
角度1坡度、坡角问题
3.(2024眉山)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 米.
4.(2024广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图(1).某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图(2)为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30米,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到1米.参考数据:sin 20°≈0.34,cs 20 °≈0.94,tan 20 °≈0.36,3≈1.73)
图(1) 图(2)
角度2仰角、俯角问题
5.(2024武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据:tan 63°≈2)
6.(2024甘肃)甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E相距182 m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin 53°≈45,cs 53°≈35,tan 53°≈43)
7.(2024吉林)图(1)中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”.某直升机于空中A处探测到吉塔,此时飞行高度AB=873 m,如图(2),从直升机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°,看塔底D的俯角∠EAD=45°,求吉塔的高度CD(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
图(1) 图(2)
8.(2024山西)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米;……
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1米.参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, sin 18.4°≈0.32,cs 18.4°≈0.95, tan 18.4°≈0.33).
9.(2024达州)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动,如图(1),在一次展演活动中,某数学综合与实践小组将彩亭抽象成如图(2)的示意图,AB是彩亭的中轴,甲同学站在C处,借助测角仪观察,发现中轴AB上的点D的仰角是30°,他与彩亭中轴的距离BC=6米.乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量,测得AE平行于水平线BC,中轴AB上的点F的俯角∠AEF=45°,点E,F之间的距离是4米.已知彩亭的中轴AB=6.3米,甲同学的眼睛到地面的距离MC=1.5米,请根据以上数据,求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:3≈1.73,2≈1.41)
图(1) 图(2)
角度3跨学科类问题
10.(2024辽宁)如图(1),在水平地面上,一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图(2),此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3 m,∠CAB=60°;停止位置示意图如图(3),此时测得∠CDB=37°(点C,A,D在同一直线上,且直线CD与地面平行,图(3)中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计,运动过程中绳子总长不变).
(1)求AB的长;
(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1 m).
(参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,3≈1.73)
图(1) 图(2) 图(3)
11.(2024贵州)综合与实践:小星学习了解直角三角形的知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处,入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A;
第二步:向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时,停止注水.(直线NN'为法线,AO为入射光线,OD为折射光线)
【测量数据】
如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20 cm,∠A=45°,折射角∠DON=32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:
(1)求BC的长;
(2)求B,D之间的距离(结果精确到0.1 cm).
(参考数据:sin 32°≈0.53,cs 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
角度4方向角问题
12.(2024重庆A)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位).
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),则哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明.
(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
13.(2024重庆B)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米);
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为:D—C—B,乙选择的路线为:D—A—B.请计算说明谁选择的路线较近.
(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
角度5实物问题
14.(2024湖南)图(1)为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具—— “碓(duì)”的结构简图,图(2)为其平面示意图,已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为 分米(结果用含根号的式子表示).
图(1) 图(2)
15.(2024江西)图(1)是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑,其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图(2),“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成.已知AD∥EF,AM,DN是太阳光线,AM⊥MN,DN⊥MN,点M,E,F,N在同一条直线上.经测量 ME=FN=20.0 m,EF=40.0 m,BE=2.4 m,∠ABE=152°.(结果精确到0.1 m)
(1)求“大碗”的口径AD的长;
(2)求“大碗”的高度AM的长.
(参考数据:sin 62°≈0.88,cs 62°≈0.47,tan 62°≈1.88)
图(1)
图(2)
角度6主题探究型问题
16.(2024威海)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动,活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表(尚不完整):
(1)设AB=a,BC=b,AC=c,CE=d,DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,请根据表中的测量示意图,从以上线段中选出你认为需要测量的数据,把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏.
(2)根据(1)中选择的数据,写出求∠α的一种三角函数值的推导过程.
(3)假设sin α≈0.86,cs α≈0.52,tan α≈1.66,根据(2)中的推导结果,利用计算器求出∠α的度数,你选择的按键顺序为 .
①2ndfsin0·86= ②sin0·86=
③2ndfcs0·52=④cs0·52=
⑤2ndftan1·66=⑥tan1·66=
17.(2024临沂)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离.
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具.
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点B,测量A,B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA,测量三次取平均值,得到数据:AB=60米,∠PAB=79°,∠PBA=64°.画出示意图,如图(1).
【问题解决】(1)计算A,P两点间的距离.
(参考数据:sin 64°≈0.90, sin 79°≈0.98,cs 79°≈0.19,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)
【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:
如图(2),选择合适的点D,E,F,使得A,D,E在同一条直线上,且AD=DE,∠DEF=∠DAP,当F,D,P在同一条直线上时,只需测量EF即可.
(2)乙小组的方案用到了 .(填写正确答案的序号)
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.
图(1) 图(2)
角度7其他问题
18.(2024成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季,夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如示意图,产生日影的杆子AB垂直于地面,AB长8尺(注:1尺≈33.3厘米).在夏至时,杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC;在冬至时,杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB=73.4°,∠ADB=26.6°,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺.参考数据:sin 26.6°≈0.45,cs 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50,sin 73.4°≈0.96,cs 73.4°≈0.29, tan 73.4°≈3.35)
图(1) 图(2)
19.(2024广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据3≈1.73)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.
考点21锐角三角函数及其应用答案
1 C
2 C 如图,过点A作AD⊥BD,AE⊥AB,垂足分别是点D和点A,则∠ADB=90°,∠BAE= 90°.∵∠B=60°,AB=4,∴BD=2, BE=8.∵△ABC是锐角三角形,∴BD< BC