2026年九年级中考数学真题分类训练考点7一元二次方程及其应用练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点7一元二次方程及其应用练习含答案，共10页。试卷主要包含了定义新运算，解方程，解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
命题点1 一元二次方程的解法及解的应用
1.(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是( )
A.(x+6)2=28B.(x-6)2=28
C.(x+3)2=1D.(x-3)2=1
2.(2024贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是( )
A.x1=3,x2=1B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=-2D.x1=-2,x2=-1
3.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2B.-2C.2或-2D.12
4.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=( )
A.1B.2-1
C.2+1D.1或2+1
5.(2024广州)定义新运算:a?b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0.例如:-2?4=(-2)2-4=0,2?3=-2+3=1.若x?1=-34,则x的值为 .
6.(2024安徽)解方程:x2-2x=3.
7.(2024青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
命题点2 一元二次方程根的判别式
8.(2024北京)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为( )
A.-16B.-4C.4D.16
9.(2024吉林)下列方程中,有两个相等实数根的是( )
A.(x-2)2=-1B.(x-2)2=0
C.(x-2)2=1D.(x-2)2=2
10.(2024自贡)关于x的方程x2+mx-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
11.(2024泰安)关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k98
12.(2024广安)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
11 B ∵关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,∴Δ=(-3)2-4×2×k≥0,解得k≤98.故选B.
12 A ∵关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4(m+1)>0,解得m1
【解析】若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则Δ=(-2)2-4c1.
15 k0,解得k0,
解得k>1.
(2)∵13.
(2)∵m>3,∴|m-3|=m-3,
∴原式=(1+m)(1-m)m-3×2m-1×m-3m+1
=-2.
19 A 20 B
21 12
【解析】∵方程x2+x-2=0的两个根分别为x1,x2,∴x1+x2=-1,x1x2=-2,∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=-1-2=12.
22 32
【解析】由题意,可知a,b可以看作是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根,∴a+b=3,ab=2,∴1a+1b=a+bab=32.
23 7
【解析】∵m,n是方程x2-5x+2=0的两个实数根,∴m+n=5,n2-5n+2=0,两式相加,得m+n2-4n=3,∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=3+4=7.
24 3
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(2m)2-4(m2-m+2)=4m-8>0,解得m>2.∵x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2,x1+x2+x1·x2=2,∴-2m+m2-m+2=2,解得m1=3,m2=0(不合题意,舍去),∴m=3.
要点归纳 ◀ ◀ ◀
一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为b2-4ac,通常用“Δ”表示.
25 6
【解析】∵一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,∴m+n=2,mn=-12(提示:一元二次方程根与系数的关系),2m2-4m=1,∴3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=m2+n2+1=(m+n)2-2mn+1=22-2×(-12)+1=6.
知识积累 ◀ ◀ ◀
一元二次方程根与系数的关系
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则x1+x2=-ba,x1·x2=ca.
26 (1)证明:Δ=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)=m2+8.
∵无论m取何值,都有m2+8>0,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)∵x1,x2是方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根,
∴x1+x2=m+2,x1x2=m-1,
∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(m+2)2-3(m-1)=9,
整理,得m2+m-2=0,
解得m1=1,m2=-2,
∴m的值为1或-2.
高分技法 ◀ ◀ ◀
利用根与系数的关系求代数式值的方法
求与一元二次方程的两根有关的代数式的值时,一般利用恒等变形将代数式转化为含x1+x2,x1x2的形式,再结合根与系数的关系进行求解.几种常用变形如下:
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2.
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.
③(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
④1x1+1x2=x1+x2x1x2.
⑤x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2.
⑥|x1-x2|=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.
27 (1)p 1
(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=p1=p.
∵x1是方程x2-px+1=0的根,
∴x12-px1+1=0.
易知x1≠0,
∴x1-p+1x1=0,∴x1+1x1=p.
(3)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=p2-2=2p+1,
整理,得p2-2p-3=0,
解得p1=-1,p2=3.
∵方程x2-px+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-p)2-4>0,∴p2>4,
∴p=3.
28 B
29 200(1+x)2=401
要点归纳 ◀ ◀ ◀
解决增长、降低率问题的方法
设a为原来的量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,a(1-m)n=b.
30 10%
【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x,由题意得40(1+x)2=48.4,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意,舍去).
31 C 设BC的长为x m,则CD的长为12(10-x+1)m,根据题意,得12(10-x+1)x=15,解得x1=5,x2=6(不合题意,舍去),∴BC=5 m,故选C.
32 设AB=x m,则BC=70-2x+2=(72-2x)(m).
(1)根据题意,得x(72-2x)=640,
化简,得x2-36x+320=0,
解得x1=16,x2=20.
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)不能.
理由:令x(72-2x)=650.
化简,得x2-36x+325=0.
∵Δ=(-36)2-4×325=-40
方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.
Δ=0
方程ax2+bx+c=0没有实数根.
Δ