初中数学北师大版（2024）九年级下册垂径定理精品ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册垂径定理精品ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了新课导入，探究新知，∵OAOB，∴AMBM，几何语言，CD⊥AB，AMBM，不是直径，垂径定理的逆定理，还有如下正确结论等内容，欢迎下载使用。
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.3 垂径定理 教学过程幻灯片分页内容第1页：情境导入——聚焦圆与弦的垂直关系（5分钟）1. 回顾旧知：提问“圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”引导学生回忆圆的轴对称性（直径所在直线为对称轴）。2. 情境设问：展示生活中的圆形拱桥图片，提问“工程师在设计圆形拱桥时，如何根据桥洞的跨度（弦长）和拱高，计算桥洞的半径？这个问题需要用到我们今天要学习的核心定理——垂径定理。”3. 引出课题：明确本节课主题——3.3 垂径定理，探究圆中直径与弦垂直时的特殊关系。第2页：实验探究——垂径定理的发现（12分钟）1. 动手操作：请学生拿出圆形纸片，按以下步骤操作：① 画一条非直径的弦AB；② 过圆心O画直径CD，使CD⊥AB，垂足为E；③ 将圆形纸片沿CD折叠，观察折叠后弦AB的两部分、弧AB的两部分是否重合。2. 观察记录：引导学生重点观察并记录：① 点A与点B的位置关系；② 线段AE与BE的长度关系；③ 弧AC与弧BC、弧AD与弧BD的数量关系。3. 小组归纳：各小组分享操作结果，共同归纳：折叠后A与B重合，故AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD，即垂直于弦的直径将弦和弦所对的两条弧都平分了。第3页：定理推导——垂径定理的精准表述与证明（10分钟）1. 定理抽象：引导学生将实验结论转化为严谨的数学语言，得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2. 符号表示：结合图形（⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E），用符号表示定理：∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴ AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。3. 逻辑证明：引导学生用全等三角形证明定理（连接OA、OB，∵ OA=OB，OE⊥AB，∴ △AOE≌△BOE（HL），故AE=BE；又∵ 圆心角∠AOE=∠BOE，∴ 弧AC=弧BC，同理弧AD=弧BD）。4. 关键辨析：① 强调“弦不是直径”：展示反例（直径垂直于直径），说明若弦为直径，垂直的直径不一定平分另一条直径所对的弧；② 补充推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。第4页：典例解析——垂径定理的应用（15分钟）例1：基础应用——求圆的半径。如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。解题步骤：① 构造直角三角形：过O作OE⊥AB于E，连接OA（“作垂线、连半径”核心辅助线）；② 应用垂径定理：∵ OE⊥AB，∴ AE=AB/2=4cm；③ 用勾股定理计算：在Rt△AOE中，OA²=OE²+AE²=3²+4²=25，∴ OA=5cm。答：⊙O的半径为5cm。例2：实际应用——解决拱桥问题。某圆形拱桥的跨度（弦长）为16m，拱高（圆心到弦的距离的补数）为4m，求该拱桥所在圆的半径。（提示：设半径为R，圆心到弦的距离为R-4，结合垂径定理和勾股定理列方程求解）第5页：巩固练习——深化定理理解（10分钟）1. 判断题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）在⊙O中，若直径CD⊥弦AB，则弧AC=弧BC。（答案：×、×、√，并说明错误原因）2. 计算题：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于E，若弧CD=60°，OE=2cm，求⊙O的半径和弦CD的长。（答案：半径4cm，CD=4√3 cm）3. 变式训练：若将上题中“弧CD=60°”改为“CD=6cm”，其他条件不变，求OE的长。（强化“知二求一”的解题思路）第6页：课堂小结与作业布置（8分钟）1. 小结回顾：① 垂径定理核心：垂直于弦的直径→平分弦、平分弦所对的两条弧；② 关键注意：弦不为直径的前提条件；③ 解题技巧：常用辅助线“作垂线、连半径”，转化为直角三角形求解。2. 作业布置：① 基础作业：教材习题3.3第2、4、6题；② 拓展作业：收集生活中应用垂径定理的实例，简要说明原理；③ 选做题：证明垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”。
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
判断下列图形，能否使用垂径定理？
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
理由是：连接OA，OB，则OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵ OA=OB，AM=BM.∴ △OAM≌△OBM.∴ ∠AMO=∠BMO.∴ CD⊥AB∵ ⊙O关于直径CD对称，
∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
∵CD为⊙O的直径， AM = BM，
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
解：连接 OC .设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .∵ OE⊥CD ，∴ 在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2.解这个方程，得 R = 545.所以，这段弯路的半径为 545 m.
1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
【教材P76 第1题】
2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.
【教材P76 第2题】
解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，则 .在Rt△ACO中，故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6.
3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
【教材P77 第3题】
解：AC=BD.理由如下:如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
4.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM.
【教材P77 第4题】
解：如图所示.作法(1)连接OM. (2)过点M作OM的垂线,交⊙O于点A,B.线段AB即为所求的弦.
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是(　　)
[2024长沙中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为4，则⊙O的半径OA的长为(　　)
如图，已知⊙O的半径为5，弦PQ＝6，R是弦PQ上任意一点，则线段OR的长可能是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8 m，轮子的吃水深度CD为2 m，则该浆轮船的轮子的半径为(　　)A．10 m B．8 m C．6 m D．5 m
[教材P103“复习题”第2题变式]如图，AB是⊙O的弦，当半径OA＝4，∠AOB＝120°时，弦AB的长为________.
(4分)[教材P76“习题3.3”第2题变式]如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝26，CD＝24，求∠OCE的正弦值.
如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝3，OD＝4，则BD的长为(　　)A．4 B．1 C．3 D．2
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是(　　)A．48° B．45° C．42° D．36°
下列说法正确的是(　　)A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为__________.
[教材P77“习题3.3”第3题变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为(　　)A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
如图，点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A(点A在第三象限)经过点M，N，则点A的坐标为(　　)A．(－5，－6)　 B．(4，－6)C．(－6，－4)　 D．(－4，－6)
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.