初中数学3 垂径定理优秀教案设计

这是一份初中数学3 垂径定理优秀教案设计，共10页。教案主要包含了教师准备，学生准备，学生活动，活动方式，学生分析，教师点评，教师强调，师生活动等内容，欢迎下载使用。

*3　垂径定理





1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理.
2.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明,并能解决一些实际问题.
3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

1.经历探索垂径定理和推论的证明过程,掌握由猜测到论证的证明思路和探索方法的多样性.
2.学会与人合作探索获得新知识的一些方法.

通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.

【重点】
1.利用圆的轴对称的性质探索垂径定理及其逆定理的过程.
2.垂径定理的简单应用.
【难点】　运用垂径定理及其逆定理解决有关的实际问题.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习轴对称的知识和圆心角、弧、弦之间的关系.
2.圆规、直尺以及圆形纸片.



导入一:
如右图所示,“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为多少?
【问题】　当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角?
[设计意图]　利用古代数学问题引入,让学生了解本节课的探究任务的同时,又感受到了中国古代劳动人民的聪明才智,再次体会数学的博大精深.

导入二:

如图所示,一只聪明的小蚂蚁想吃点B处的糖,欲沿着弦AB的方向由点A处爬向点B处,如果已知☉O的半径为5,弦AB的长为8,你知道小蚂蚁在爬行的过程中什么时候离圆心O最近吗?你能帮助它求出这个最近距离吗?
【学生活动】　学生互相讨论解决问题的方法并猜想:应该是爬到线段AB的中点处时,离圆心O的距离最近.
【问题】　为什么到线段AB的中点处时离圆心O的距离最近呢?最近的距离又是多少呢?
[设计意图]　由学生熟悉的小蚂蚁找食物的生活情境入手,让学生通过观察、猜想发现不能解决的问题,不但逐步引出本节课的课题,同时又有效地激发了学生的学习热情.

　　[过渡语]　上节课我们探究了圆的对称性中的中心对称的性质,本节课我们继续探讨圆的轴对称的性质.
一、垂径定理

【做一做】　如右图所示,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
【活动方式】　学生前后四人一组,分工合作,互相帮助,动手画圆、剪圆,按轴对称图形的探究方法探究,寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流,教师要深入到小组中指导.
问题1
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
【学生分析】　这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.
问题2
你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【学生活动】　学生统一答案后,代表发言:我们采用折叠的方法.方法如下:将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合,∠DMA与∠DMB重合,与重合,与重合,所以等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°,=,=.
【教师点评】　平分弦AB所对的弧指平分弦AB所对的优弧和劣弧.我们上面这个结论称为垂径定理.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
【教师强调】　垂径定理的注意事项:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
符号语言:∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM,=,= .
　　[过渡语]　上面我们是利用折叠的方法得出了垂径定理,我们能不能对垂径定理进行推理证明呢?你能写出它的证明过程吗?
【师生活动】　学生思考后认为:可以利用轴对称的性质,通过三角形全等进行证明.学生独立解答,代表板演展示.教师课件出示解题过程,规范学生的解题步骤.

如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM, =,=.
证明:连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.
∴=.
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC,
∴∠AOD=∠BOD.
∴=.
[设计意图]　让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化.应鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法.
[知识拓展]　1.垂径定理是在圆中证明线段相等及弧相等的一种非常好的方法.
2.连接半径是圆中最常用的辅助线作法.
　　[过渡语]　你能说出垂径定理的逆命题吗?它的逆命题正确吗?

二、垂径定理的逆定理
课件出示:

如右图所示,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于M.
(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
【活动方式】　类比刚才的探究垂径定理的方法,学生先独立思考,然后让学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.之后教师用课件展示解题思路.
教师引导学生思考下面的问题:
1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗?
2.平分弦中的弦可以是直径吗?
3.你得出的结论和垂径定理有什么区别?
【师生总结】　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
【教师点拨】　我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的逆定理.
符号语言表示:∵CD是圆的直径,CD平分AB (AB不是直径),∴CD⊥AB,=,=.
[设计意图]　在垂径定理的逆定理的环节的处理上,学生可以类比垂径定理的探讨方法,所以这里尽量放手学生,并让学生再次体会研究图形的多种方法,教师此时只要起到辅助、提升的作用即可.
[知识拓展]　垂径定理及逆定理的运用方法为知二推二:在 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分弧” 四个结论中,已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论.
　　[过渡语]　我们已经掌握了垂径定理及其逆定理,下面就让我们在实战中检验一下我们的理解、掌握程度吧!
三、垂径定理的应用
课件出示:

　如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是所在圆的圆心),其中CD=600 m,E为上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
【学生活动】　观察示意图,分析题目的已知和要求的结果,寻求相互关系,然后尝试独立解答,再与小组其他同学交流,确定解题思路.
【教师活动】　要求学生独立解答,并与个别学生交流解题的思想方法,找代表在黑板上板演过程,并说明为什么这样解答.师课件出示,规范学生的解题步骤.
〔解析〕　连接OC,根据垂径定理可得CF=300 m,设圆弧的半径是R,OF=R-90,OC=R, 在Rt△OCF中,根据勾股定理可得OC的长,即可求得半径.
解:如图所示,连接OC,
设弯路的半径是R,则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD,
∴CF=CD=×600=300(m).
在Rt△OCF中,根据勾股定理,
得OC2=CF2+OF2,
即R2=3002+(R-90)2,
解这个方程,得R=545.
所以这段弯路的半径是545 m.
[设计意图]　让学生亲身经历数学知识发生、发展、形成的过程或让学生参与探索数学问题解决的全过程,给出相对充足的时间让学生去观察、猜想、验证、讨论,允许学生出错和走弯路,只有这样,学生才能在探究活动中获得学习方法,发展数学能力,形成良好的思维品质,这也正是数学教育的终极目标.

1.垂径定理.
2.垂径定理的逆定理.
3.总结研究图形的常用方法.
4.运用垂径定理及逆定理进行计算和推理.


1.如图所示,☉O的半径为5,弦AB的长为8,点M在线段AB(包括端点A,B)上移动,则OM的取值范围是 (　　)
A.3≤OM≤5
B.3≤OM<5
C.4≤OM≤5
D.4≤OM<5
解析:当M与A或B重合时,OM达到最大值,即圆的半径5;当OM⊥AB时,OM取最小值,为=3.故OM的取值范围是3≤OM≤5.故选A.
2.如图所示,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是　　　　. 
解析:∵OC⊥弦AB于点C,∴BC=AC=AB=×4=2,在Rt△OBC中,OC=1,BC=2,∴OB==.故填.

3.如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则☉O的半径为　　　　. 

解析:连接OC,∵CD⊥AB,CD=8,∴PC=·CD=×8=4,在Rt△OCP中,∵PC=4,OP=3,∴OC===5.故填5.
4.如图(1)所示,水平放置的一个油管的截面半径为13 cm,其中有油部分油面宽AB为24 cm,求截面上有油部分油面高CD.

解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.
解:如图(2)所示,连接OA.
根据垂径定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中,OA=13 cm,AC=12 cm.
根据勾股定理,得OC==5 cm,
∴CD=OD-OC=8 cm.
∴油面高CD为8 cm.

*3　垂径定理
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2.垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
3.垂径定理的应用.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第76页随堂练习第1,2题.
2.教材第76页习题3.3第1,2题.
【选做题】
教材第77页习题3.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.绍兴是著名的桥乡,如图所示,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB为 (　　)

A.4 m B.5 m
C.6 m D.8 m
2.如图所示,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为 (　　)
A.4 B.8
C.2 D.4

3.如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为,则点P的坐标为　　　　. 

【能力提升】
4.CD是☉O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=8,则BE的长是 (　　)
A.8 B.2
C.2或8 D.3或7
5.如图所示,将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,则∠OAB=　　　　. 

6.如图所示,已知在☉O中,弦AB的长为24 cm,半径为13 cm,过O作OC⊥AB,求点O与AB的距离.

7.(邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出所在圆O的半径r.

【拓展探究】
8.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心,OB为半径作圆,且☉O过A点,连接OA.
(1)如图(1)所示,若☉O的半径为5,求线段OC的长;
(2)如图(2)所示,过点A作AD∥BC交☉O于点D,连接BD,求的值.

【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,连接OA,∵桥拱半径OC为5 m,∴OA=5 m,∵CD=8 m,∴OD=8-5=3(m),∴AD===4(m),∴AB=2AD=2×4=8(m).故选D.)

2.D(解析:∵☉O的直径AB=12,∴OB=AB=6,∵BP∶AP=1∶5,∴BP=AB=×12=2,∴OP=OB-BP=6-2=4,∵CD⊥AB,∴CD=2PC.如图所示,连接OC,在Rt△OPC中,∵OC=6,OP=4,∴PC= ==2,∴CD=2PC=2×2=4.故选D.)

3.(3,2)(解析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD== =2,∴P(3,2).故填(3,2).)

4.C(解析:如图所示,连接OC,∵直径AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×8=4,在Rt△OCE中,OC=AB=5,∴OE==3,当点E在半径OB上时,BE=OB-OE=5-3=2,当点E在半径OA上时,BE=OB+OE=5+3=8,∴BE的长为2或8.故选C.)
5.30°(解析:过点O作OC⊥AB于点D,交☉O于点C,∵将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,∴OD=OC,∴OD=OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°.故填30°.)

6.解:如图所示,连接OA.∵OC⊥AB于点C,∴AC=·AB=12 cm,∵OA=13 cm,∴OC===5(cm),即O与AB的距离为5 cm.
7.解:∵弓形的跨度AB=3 m,EF为弓形的高,∴OE⊥AB,∴AF=AB= m,∵AB 所在圆O的半径为r,弓形的高EF=1 m,∴AO=r,OF=r-1,在Rt△AOF中,AO2=AF2+OF2,即r2=+(r-1)2,解得r=(m).答: AB 所在圆O的半径为 m.
8.解:(1)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵OA=OB,∴∠BAO=∠B=30°,∴∠AOC=30°+30°=60°,∠OAC=90°,∵OA=5,∴OC=2AO=10.　(2)连接OD,由(1)知∠AOC=60°,∵AD∥BC,∴∠DAO=∠AOC=60°,∵OD=OA,∴∠ADO=60°,∴∠DOB=∠ADO=60°,∵OD=OB,∴△DOB是等边三角形,∴BD=OB=OA,在Rt△OAC中,由(1)知OC=2BD,由勾股定理得AC=BD,∴=.


由于本节课知识容量较大,为了让学生能直观、快速的理解所研究的知识,所以利用课件及学生的动手操作相结合的方法.首先让学生通过观察、猜想、实验、形成感性上的认识,然后再过渡到理性的思考.这不仅增加了学生学习本节知识的兴趣信心,而且也降低了对垂径定理及其逆定理理解的难度.对于逆定理的探究引导学生采用类比垂径定理探究的方法进行,这样既增加了学生的亲切度,还节约时间,为例题的解决保留了充足的时间.

教学中,由于一部分成绩优秀的学生的抢先发言,使基础差的学生被动地接受了知识,导致这些学生在解题时思路不是太清晰.

在探究的过程中,给学生留出充足的思考时间,不要让基础好的学生代替了其他同学的意愿.

随堂练习(教材第76页)
1.解:根据图示可知AB=37.4,CD=7.2.在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即R2=+(R-7.2)2.解得R≈27.9.答:拱桥所在圆的半径约为27.9 m.

2.解:相等.理由如下:如图所示,AB,CD为☉O的两条弦,且AB∥CD,作半径OE⊥AB,则OE⊥CD.∵OE⊥AB,∴ =.∵OE⊥CD,∴ = .∴ - = - ,则 = .即两条平行弦所夹的弧相等.
习题3.3(教材第76页)
1.解:连接OA.∵AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=10,∴AE=5.在Rt△AOE中,∵OA2=OE2+AE2,∴OA2=(OA-1)2+52,∴OA=13,∴CD=2AO=26(寸).答:直径CD的长为26寸.
2.解:过点O作OC⊥AB于C,则AC=AB=×36=18(mm),∴OC===24(mm),∴cos∠OAB===.
3.解:AC=BD.过点O作OE⊥AB于E,则AE=EB,CE=ED, ∴AC=DB.
4.提示:(1)连接OM;(2)过点M作OM的垂线,交☉O于点A,B.AB即为所求作的弦,如图所示.



1.本节课的主要任务是利用圆的轴对称性探究出垂径定理,所以让学生通过动手操作利用课前准备好的圆进行作图,然后通过折叠即可得到所需要的等量关系.首先通过观察、猜想、实验形成感性上的认识,然后再过渡到理性的思考.
2.对于垂径定理的逆定理的探究,可以利用类比垂径定理的探究方法来进行.
3.通过对垂径定理的特征图形的分析,培养学生抓特征图形的能力,对图形可以进行合理的分析,同时可以提高应用图形的能力.


　一个半圆形桥洞截面如图所示,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=16 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?
〔解析〕　(1)由OE⊥CD,根据垂径定理求DE,解Rt△DOE可求半径OD;(2)在Rt△DOE中,由勾股定理求OE,再用OE长度÷水面下降速度求出时间.
解:(1)∵OE⊥CD于E,CD=16,
∴ED=CD=8.
在Rt△DOE中,∵sin∠DOE==,
∴OD=10(m).
(2)在Rt△DOE中,OE===6(m).根据题意知水面要以每小时0.5 m的速度下降,即时间t=6÷0.5=12(小时),故将水排干需12小时.
〔注意事项〕　本题考查了垂径定理的运用.关键是由垂径定理求DE,解直角三角形求半径OD,利用勾股定理求水面高度OE.