寒假作业02 一定是直角三角形吗（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

这是一份寒假作业02 一定是直角三角形吗（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案，文件包含寒假作业02一定是直角三角形吗巩固培优原卷版docx、寒假作业02一定是直角三角形吗巩固培优解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
作业02 一定是直角三角形吗
一、直角三角形的判别条件
1. 定义：如果三角形的三边a， b， c满足a2+b2= c2那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）
2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法：
二、勾股数
勾股数
2. 判断勾股数的方法步骤:
(1)确定三个是正整数；
(2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和；
(3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 判断三边能否构成直角三角形
1.已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=1:2:3B．a+b2+a−b2=2c2
C．∠A:∠B:∠C=2:3:4D．∠A=∠B=2∠C
题型二 勾股数
2.下列说法：
①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形
②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2
③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数
其中正确的是 （填序号）．
题型三 网格中判断直角三角形
3．如图所示的是正方形网格，则 °（点A，B，C，D，M为网格线交点）．
题型四 图形上与已知两点构成直角三角形的点
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有( )
A．4个B．5个C．6个D．8个
题型五 利用勾股定理的逆定理求解
5．如图，在△OAB中，OA=3,OB=4,AB=5,∠OAB的平分线AC交OB于点C，点P，Q分别为线段AC，边OA上的动点．则OP+PQ的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
题型六 利用勾股定理的逆定理证明
6．已知△ABC的三边a=n2−1n>1，b=2n，c=n2+1．
(1)求证：c是△ABC的最长边；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12．
题型七 勾股定理的逆定理实际应用
7．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)求证：∠ACB=90°；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
题型八 勾股定理及其逆定理的综合求值
8．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理．
【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件∠ABD=90°，AD=39cm，AB=36cm，BC=9cm，CD=12cm，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由．
题型九 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图
9．图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段AB的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3．
(2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3．
(3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形．
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 三角形．
2．如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BD=23DC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
3．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
4．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△ABC的面积；
（2）通过计算判断△ABC的形状；．
（3）求AB边上的高．
5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①
或
（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②
要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③
如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．
因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．
于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．
（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 ；
（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；
（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 ， （分别用含p的代数式表示）．
6．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB=95，求
（1）AD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
8．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝12，BC＝13，CD＝4，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
10．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
11．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=32−12，12=52−12，24=72−12⋯，于是他很快表示了第二数为a2−12，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明．
12．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：a=12(m2−n2)b=mnc=12(m2+n2).其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
13．甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行．
从角度上判断
三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余
从边长上判断
两条较短边的平方和等于最长边的平方
定义
满足a2+b2= c2的三个正整数，称为勾股数
满足条件
①三个数都是正整数
②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方
拓展
勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数.
常见形式
①n2−1，2n，n2+1（n为大于1的正整数）；
②4n，4n2−1，4n2+1（n为正整数）等