甘肃省兰州市外国语学校、兰州志成中学上学期九年级期中联考数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市外国语学校、兰州志成中学上学期九年级期中联考数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若的倒数是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】倒数，指的是两个数的积为，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴的值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查倒数的概念，理解倒数的概念，掌握倒数的计算方法是解题的关键．
2. 国家提倡“低碳减排”，某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解： 213000000一共9位，从而213000000=2.13×108．
故选：C．
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A. AB∥DC，AB＝CDB. AB∥CD，AD∥BCC. AC＝BD，AC⊥BDD. OA＝OB＝OC＝OD
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型．
4. 已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再计算式子，即可作答．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
故选：A．
5. 如图，，若，，则的长为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象过点B. y值随着x值的增大而增大
C. 函数的图象经过第三象限D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质对每一项进行判断分析即可得出结果．
【详解】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意；
B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意；
C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意；
D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键．
7. 在菱形中如图，，，则（ ）
A. B. C. D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
故选：B ．
8. 如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解；
【详解】解：由图可知：，
若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定，
故A、C正确，不符合题意；
若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定，
故D正确，不符合题意；
不可判定，故B错误，不符合题意；
故选：B
9. 如图，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，进而根据邻补角得出，再根据三角形的内角和即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，若点D是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴，
故选：C．
11. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可．
本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得，
故选：A．
12. 如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ）
A. B. C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为；
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键．
先提取公因式3，然后再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 如图，，若，，则的长度是______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【详解】解：，．
，
当时，．
故答案为：9
15. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案．
【详解】解：根据图象可知甲波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．
故答案为：①②．
16. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
故答案为：或．
三、解答题（共12小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）先算二次根式的乘法，同时利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的减法即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
（1）利用直接开方法即可求出答案；
（2）观察可知，把方程右边的项移到左边后，可用提公因式法把左边分解因式，因此可用因式分解法解这个方程．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
或
．
19. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、求不等式组的整数解等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定所有整数解即可．
【详解】解：x2>−1①2x+1≥5x−1②
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，利用分式的运算法则先化简，再求出的值，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
∵，
∴，，
把，代入得，
原式．
21. 如图，在四边形中，，E和F为对角线上的两点，．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键．
证明，推出，即可证明；
【详解】证明：∵，
，
又，，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
22. 如图，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可证得，据此即可证得结论．
详解】证明： ，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
23. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根以及根与系数的关系；
（1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况；
（2）把代入方程可求的值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，，
解得，
设，另一个根为，
根据根与系数的关系可得：，
∴，
∴．
24. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．
【答案】米．
【解析】
【分析】如图（见解析），过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得米，米，米，米，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，
由题意得：米，米，米，米，米，
米，米，米，米，
，
，
，即，
解得（米），
则城楼的高度为（米），
答：城楼的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
25. 某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？
（2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）420千克，详见解析 （2）80元，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，
（1）利用月销售量，可求出月销售量；
（2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论；
熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键．
【小问1详解】
根据题意得：
（千克），
答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克；
【小问2详解】
设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
答：销售单价应定为80元．
26. 为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析：
【收集数据】
七年级10名学生测试成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83
八年级的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，解答下面问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个年级的成绩比较好，简要说明理由；
（3）七八年级共有学生1800人，按规定，若学生测试成绩超过80分为“优秀”，估计这两个年级安全知识学习优秀的总人数有多少？
【答案】（1）4；83；
（2）八年级学生知识竞赛成绩更好，理由见解析
（3）990人
【解析】
【分析】（1）数出成绩在范围内的人数即可求a；根据众数的定义即可求b；根据中位数的定义可求c．
（2）比较两年级的中位数、众数、平均数的大小即可得出结论；
（3）用全校总人数乘以两年级成绩超过80分点的比例，计算即可．
【小问1详解】
解：；
∵83出现的次数最多，共3次，
∴七年级的众数是83，即；
按从小到大排列，第5，第6个成绩应是85，85，
故八年级的中位数是，即；
故答案为：4；83；．
【小问2详解】
解：可以推断出八年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计这两个年级安全知识学习优秀总人数有990人．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，众数，平均数，用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点；B．
（1）求一次函数的表达式和点B的坐标；
（2）点C在x轴上，若是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标．
【答案】（1），
（2）或或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解以及等腰三角形的定义，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点代入即可求出一次函数的表达式；令即可得点B的坐标；
（2）分类讨论，即可求解；
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为．
令，得，
∴点B的坐标为0,2．
【小问2详解】
解：由点A，B的坐标得，，
∴．
∵是以边AB为腰的等腰三角形，
，
此时点C的横坐标为或
，
此时点关于轴对称
∴点C的横坐标为
综上所述：点C的横坐标为或或
28. （1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为______；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为16，，请直接写出的面积．
【答案】（1）（2），理由见解析（3）7
【解析】
【分析】（1）证明，可得，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案；
（2）在上截取，连接．证明，可得，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，证明，则，由，可得是直角三角形，由可得，根据的面积为16即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，在上截取，连接．
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为16，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
年级
七年级
1
4
1
八年级
0
4
5
1
年级
平均数
中位数
众数
七年级
80
81
八年级
80
85