甘肃省兰州市城关区科学院中学九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市城关区科学院中学九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于x的一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、一元一次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握同一个反比例函数图象上点的坐标之积都相等是解答本题的关键．根据同一个反比例函数图象上点的坐标之积都相等进行判断即可．
【详解】解：由得：，
A中，，故点不在的图象上，故不符合题意；
B中，，故点在的图象上，故符合题意；
C中，，故点不在的图象上，故不符合题意；
D中，，故点不在的图象上，故不符合题意；
故选：B．
3. 若∠A为锐角，且tanA＝，则csA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：∵tanA＝，
∴∠A＝30°，
则csA＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
4. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ）
A. 10米B. 12米C. 15米D. 20米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可．
【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例，
∴，即：，
解得：；
故选B．
5. 若函数是关于的二次函数，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，且，
解得：，
故选：A．
6. 如图，菱形对角线与BD交于点，，，则菱形的面积为( )
A. 10B. 24C. 40D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
7. 如图表示一个用于防震的形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，根据俯视图的定义，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看可得到两个左右相邻的矩形．
故选：B．
8. 如图，与位似，点是它们的位似中心，位似比为，下列结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可．
【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，位似比为，
∴A、 ，故该选项不正确，符合题意；
B、 ，故该选项正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，不符合题意；
D、 ，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
9. 用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（共中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘被等分成两个扇形，转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是，
故选：A．
10. 为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是元，降价后的价格是元，则与之间的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列出二次函数的关系式，正确根据数量关系列出式子是解题关键．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，即可得出与之间的函数关系式．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
由该药品的原价是元，
则第一次降价后的价格为，
则两次降价后的价格为，
故选：D．
11. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
12. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．下列四种说法：
四边形是平行四边形；
如果，那么四边形是矩形；
如果平分，那么四边形是菱形；
如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，错误，进而得到正确说法的个数．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，选项正确；
若，
平行四边形为矩形，选项正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项正确；
若，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，选项错误，
则其中正确的个数有个．
故选：C．
二、填空题
13. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
则．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．
14. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案．
【详解】反比例函数的图像位于第二、四象限，
，
解得．
故答案为：．
15. 抛物线的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为．可将抛物线的一般式化成顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：
16. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，进而根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，
两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．先把方程变为的形式，若则利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
移项，得：，
两边同时除以，得：，
直接开平方，得：，
解得：，．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可．
【详解】解：，，，
，
则，
解得：，．
19. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）正方形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了特殊四边形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
（1）根据题意得，，根据得，则四边形是平行四边形，又有，由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）由平行四边形性质可得，进而可得，则是矩形，根据也是菱形可知四边形是正方形．
【小问1详解】
解：∵在中，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴是菱形；
【小问2详解】
结论：四边形是正方形，
理由如下：
由（1）得，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是矩形，
又∵是菱形
∴四边形是正方形．
21. 如图直线与双曲线交于，两点，点的坐标为．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）或x>2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数图象与不等式，一元二次方程，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点求法和利用和差法求三角形面积是解题的关键．
（1）分别代入与中即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，先求出点坐标，即得，通过联立一次函数与抛物线解析式求出点坐标，即得，通过即可求解；
（3）找出反比例函数落在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【小问1详解】
解：把点代入，
得，
解得：，
故一次函数的解析式为：；
把点代入，
得，
解得：，
故反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，

令，则，
得，
∴，
联立一次函数与抛物线解析式，
得，
解得：， ，
∴B2,1，
∴，
由得，
；
【小问3详解】
解：由图可知的图象在的图象上方时，所对应的的取值范围是或x>2，
则当满足或x>2时，．
22. 某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个．
（1）每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？
（2）每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）4元； （2）当每个陀螺涨价7元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为338元；
【解析】
【分析】（1）根据每个的价格×每天的销售量=每天的利润，列方程求解即可；
（2）设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，根据每个的价格×每天的销售量=每天的利润得出y与x的关系式，再根据二次函数的性质判断即可；
【小问1详解】
解：设每个陀螺涨价a元，则每天可售出（40﹣2a）个，
依题意，得（14﹣8＋a）（40﹣2a）＝320，
（a-4）（a-10）＝0，
解得，，
又∵要让顾客得到实惠，∴a＝4，
答：当每个陀螺涨价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元．
【小问2详解】
解：设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，
则y＝（14﹣8＋x）（40﹣2x），整理得，
当x＝7时，y有最大值，最大值为338，
答：当每个陀螺涨价7元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为338元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数实际应用，掌握二次函数的性质是解题关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
（2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
（3）①点的坐标为 ．②求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所作图形．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所作图形．
【小问3详解】
解：①点的坐标为．
的面积为．
24. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）x的值为9
（2）苗圃园的面积不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论；
（2）假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：x的值为9；
【小问2详解】
解：苗圃园的面积不能达到，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
25. 2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由．
【答案】（1）
（2）这次投篮训练能成功，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，然后点代入求得即可解答；
（2）令，求y的值，然后与比较即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入可得：，解得：，
所以抛物线的函数表达式．
【小问2详解】
解：这次投篮训练能成功，理由如下：
令，则，
∵，
∴这次投篮训练能成功．
26. 如图，点是矩形中AD边上一点，沿折叠为，点落在CD上．
（1）求证：；
（2）若，，求的值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识．
（1）可证得，，进而得出；
（2）由（1）得出，设，，由得出，求得k，进而得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠为，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴，
设，，
∵，，
∴，
∴，（舍去），
∴．
27. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号）
（1）求此时甲、乙两市民的距离；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）米；
（2）飞机距离地面的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．
（1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解；
（2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案．
【小问1详解】
解：过点作于点，如图，
斜坡的坡比，铅垂高度米，
，
米，
米；
【小问2详解】
解：，，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
在中，，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
28. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解
如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______．
（2）问题探究
如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．
①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；
②求线段的长度．
（3）拓展应用
如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）或或或任写一个即可；
（2）①是；②；
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义，添加一组邻边相等即可求解．
（2）由旋转可得：，则四边形是等邻边四边形；②过点D作于点H，通过证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，
最后根据勾股定理即可求解；
（3）过作，且，连接，，证明为等边三角形，，进而根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，或或或任写一个即可；
（2）①由旋转可得：，
∴四边形是等邻边四边形；
故答案为：是；
②过点D作于点H，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：；
（3）
过作，且，连接，，

，
，
又，为等边三角形，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了新定理，解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题目所给等邻边四边形的定义，正确画出辅助线解答．