甘肃省兰州市第五中学 九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市第五中学 九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图下面几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了几何体的三视图，根据左视图即从物体左面看到的图形，从左面看易得三个竖直排列的长方形，且上下两个长方形的长大于高，比较小，中间的长方形的高大于长，比较大．
【详解】解：根据题意可得该几何体的左视图是，
故选：B．
2. 方程的解为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
【详解】解：x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0
x=0，x﹣2=0
∴x1=0，x2=2．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．
3. 在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（ ）
A. 0.8B. 0.9C. 0.95D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C．
点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4. 下列各图中，物体的影子不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据太阳光和灯光进行区别即可.
【详解】因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的.
故选B.
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的区别，太阳光线是平行光线，灯光不是平行光线.
5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：4，其中，则OB的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴BO=2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 如图，在菱形 中，于点E，，则菱形 周长是（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，连接，根据题意可得是直角三角形，结合菱形的性质可得点是的中点，求出，由，易得点是的中点，易证是的中位线，推出，再根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴
∴是直角三角形，
∵四边形为菱形，
∴点是的中点，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴菱形 的周长是．
故选：B．
7. 如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由DE是的中位线，可得AC=12，在中，点F为AC中点，可得BF=即可．
【详解】解：∵DE是的中位线，
∴AC=2DE=2×6=12，
∵在中，，点F为AC中点，
∴BF=，
故选择A．
【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．
8. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则由题意列得方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通道的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78．
【详解】通道的宽为xm，由题意得
（30-2x）（20-x）=6×78，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
9. 已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ）
A. 0＜y1＜y2B. 0＜y2＜y1C. y1＜y2＜0D. y2＜y1＜0
【答案】A
【解析】
【详解】∵反比例函数的k=3＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
∴当x1＞x2＞0时，有0＜y1＜y2．故选A．
考点：反比例函数的性质．
10. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE=1cm，则AE的长为（ ）
A. 3cmB. 2cmC. 2cmD. cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形和直角三角形的性质求出∠BAE=30°，再根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，∠BDA=∠DBC=30°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=1cm，
∴AB=2cm，
∴AE=(cm)，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
11. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，
而点A在反比例函数y=﹣的图象上，
∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），
∴AB=﹣（﹣）=，
∴S△ABC=•AB•OP=•b=3．
故选A．
12. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】通过比较点和到直线的距离大小可对①进行判断；利用对称轴方程得到，再利用时，可对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则利用当时，可对③进行判断；根据抛物线的顶点为可对④进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
而点比到直线的距离小，
；所以①错误；
，
，
时，，
，
，即，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
即，所以③正确；
抛物线的顶点为，
方程有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置． 当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二、填空
13. 顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，理解记得顶点式，（其中顶点为）是关键．据题意求得抛物线的二次项系数，由顶点可直接写出解析式．
【详解】解：∵抛物线的形状与函数的图象相同且开口方向相反
∴抛物线的解析式的二次项系数为，又其顶点为
∴抛物线解析式为．
故答案为：．
14. 已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有________．(填序号)
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确；
②，图象在第二、四象限内，错误；
③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误，
故答案为：②③④．
15. 某种芯片，原来每个成本是200元，由于技术创新，成本得以连续两次降低，现在每个成本是 98元，则成本平均每次降低的百分率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x后就变为原来的倍，调整2次就是倍．设平均每次降低成本的百分率为x，经过第一次下降，成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，根据两次降低后的成本是98元列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设平均每次降低成本的百分率为x，则
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴平均每次降低成本的百分率为；
故答案为：．
16. 如图，电灯A在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点A到的距离为3m，则点A到的距离是______.
【答案】1.2m
【解析】
【分析】利用相似三角形对应高比等于相似比，列出方程即可解答．
【详解】∵
∴△ADE∽△ABC
∴DE:BC=A到AB的距离：点A到BC的距离.
∴2:5=A到DE的距离：3
∴A到DE的距离为1.2m，
故答案为1.2m.
【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当_____，与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可；
【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，
，
∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，
，
若时，，即，
整理得：，
解得：，
则当时，与相似；
若时，，即，
解得：，
则当时，与相似；
综上所述：当秒或秒时，与相似，
故答案为：或．
三、解答题
18. 一部好的纪录片可以让学生开阔眼界，建立认知，构建宏大的世界观，某中学为了丰富学生课外生活，向学生们推荐了《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》这四部纪录片，要求每名学生从这四部纪录片中随机选择一部来观看．
（1）该校学生小明选择观看纪录片《蓝色鼠球》的概率是______；
（2）现有两名没有看过这四部纪录片的学生准备从这四部纪录片中各自随机选择一部来观看，请用树状图或列表法求他们选择同一部纪录片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画出树状图，得出总的情况数和他们选中同一名著的情况数，然后利用概率公式即可求出概率，画出树状图是解此题的关键．
【小问1详解】
解：因为《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》共四部纪录片，
所以该校学生小明选择观看纪录片《蓝色鼠球》的概率是；
【小问2详解】
解：将《地球脉动》《蓝色星球》《冰冻星球》《地球的力量》分别记作画树状图可得：

所以，共有种等可能得结果，其中选中同一部纪录片的有4种，
故（两人选中同一部纪录片）.
19. 在中，E、F分别是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，当时，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据中点定义得到，再利用证明全等；
（2）根据平行四边形的性质得到，根据中点定义得到，得到四边形是平行四边形，根据三线合一得到，即得是矩形．
【小问1详解】
∵中，，且E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是矩形．理由：
∵中，，且E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
即，
∴是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，线段中点定义，三角形全等的判定和性质，等腰三角形性质，矩形的判定．是解决问题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）结合图象，当时，的取值范围是_______；
（3）连接 ，求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键．
（1）把点代入，可求出反比例函数的解析式，从而得到点，再将把点，点代入，可得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）观察图象可得：当 或 时，，即可求解；
（3）连接，设直线与x轴交于点D，y轴交于点C，可得到，即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，反比例函数的表达式为．
∵一次函数的图象经过点，，可得，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：观察图象可知，不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方部分的自变量的取值范围，
∴该不等式的解集为或．
【小问3详解】
解：如图，连接，设直线与x轴交于点D，y轴交于点C，
当 时， ，
当 时， ，
∴点 ，
∴，
∵，，
∴．
21. 如图，中，，交于F．
（1）求证：；
（2）求与周长之比；
（3）如果的面积为，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）与周长之比为；
（3）的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）证明，即可解决问题；
（2）运用相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可解决问题；
（3）运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴与周长之比为；
【小问3详解】
解：∵，
∵的面积为
∴的面积为．
22. 已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题．
【详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0，即，
∴；
（2）根据题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵
∴m=2．
24. 网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店，某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售价x之间的函数关系式．若你是网店老板，会将价格定为多少，使每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－0.1x＋180.（2）售价定为1400元/部时，每天最大利润为16000元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
试题解析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
，
解得：．
故y与x的函数关系式为y=-0.1x+180；
（2）∵W=（x-100）y
=（x-1000）（-0.1x+180）
=-0.1x2+280x-180000
=-0.1（x-1400）2+16000，
当x=1400时，W最大=16000，
∴售价定为1400元/件时，每天最大利润W=16000元．
25. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且；
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少?
【答案】（1）两路灯距离为
（2）当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
（1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
【小问1详解】
解：，
，
，即，
，
，
，
，即，
，而，
∴，
∴．
答：两路灯的距离为；
【小问2详解】
解：如图2，他在路灯A下的影子为，
，
，
∴，即，
解得．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是．
26. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接，已知点A，D的坐标分别为．
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ，B(8,0),E(3,-4)；（2）点F的坐标为(，)或(，)．
【解析】
【分析】（1）把A、D坐标代入抛物线可求得抛物线的函数表达式，则抛物线的对称性可求得B点坐标，由D点坐标可求得直线的解析式，则可求得E点坐标；
（2）结合（1）可知，由全等三角形的性质可知，可知点F在线段的垂直平分线上，则可求得F点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得F点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为．
∴点B的坐标为，
设直线L的函数表达式为．
∵点在直线L上，
∴，解得 ，
∴直线L的函数表达式为，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为×3=，
∴点E的坐标为（3，）；
（2）抛物线上存在点F，使．
∵，
∴，
∴点F在的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为，
∴，解得x= ，
∴点F的坐标为(，)或(，)．
【点睛】二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点F在线段OC的垂直平分线上是解题的关键．
27. 如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．

（1）求a和k的值；
（2）将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度；
②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值．
【答案】（1），
（2）①；②1或5
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平移的性质，两点间的距离公式，勾股定理，、等，根据两点间的距离公式求出、的值，运用勾股定理进行分类讨论是解题的关键．
（1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出a值，待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）①根据平移的性质可得点D的纵坐标为1，代入求出点D的坐标，得出平移的距离，求出点C和点和点E的坐标，即可求解；
②根据平移的性质可得，，根据两点间的距离公式求出、的值，结合题意，根据勾股定理进行分类讨论，求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入，得=1，
∴一次函数解析式，
将点代入得：，
∴ ，
将点代入，可得，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解∶ ①∵点恰好落在反比例函数图象上，点D是点B平移后的对应点，
∴点D的纵坐标为1，
当时，，解得，
∴，，
∴，
∵点C作轴，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴ ，
②若，如图1所示，则，；
若，与题意不符，舍去；
若，如图2所示，设，，
则，
，
，
∵为直角三角形
∴
∴
解得
综上，的值为1或5．

28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为．

（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为．
①当为何值时，四边形是平行四边形；
②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？
【答案】（1），；
（2）①；②，最大值是．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①根据平行四边形性质可得，，得到关于的方程，求解即可；②由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将、点、点代入抛物线解析式可得
，解得，即抛物线为
设直线l的解析式为
将点、点代入得
解得，即直线l的解析式为
综上：，
【小问2详解】
由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点
则，所以
点，，点
①连接，如下图：

∵四边形是平行四边形
∴，即
化简可得：，解得，（舍去）
即，四边形是平行四边形；
②连接、，如下图：

由题意可得：
∴
∵，开口向下，对称轴为
∴当时，面积最大，为
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
试验种子数n（粒）
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95